Beweis eines Grenzwertes

30.11.2015, 20:26

arni19102

Beweis eines Grenzwertes

Meine Frage:
Hallo ich habe folgende Aufgabenstellung (Bild)

Meine Ideen:
Mir ist klar warum die zu zeigende Aussage wahr ist .Es geht darum sie zu beweisen ^^.
Mir fällt ein wenn sich die Aussage nach oben und Untern abschätzen lässt gegen den Gleichen wert zb. max(a,b,c) dann könnte ich die EInschliesungsregel benutzen und es würde die zu zeigende Aussage folgen.
Nur wie man da rangeht bereitet mir Schwierigkeiten .Bitte um Hilfe

30.11.2015, 20:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von arni19102
dann könnte ich die EInschliesungsregel benutzen

Gute Idee, und so einfach realisierbar: Mit $\begin{align*} m=\max\{a,b,c\} \end{align*}$ ist $\begin{align*} m^n\leq a^n+b^n+c^n \leq 3m^n \end{align*}$ .

30.11.2015, 20:51

arni19102

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Dankeschön für die rasche Antwort.
Also Die nte Wurzel von m^n ist ja m und die rechte seite kann man aufteilen in die nten wurzeln von $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} * \sqrt{m^n} \end{eqnarray*}$ . nte Wurzel von 3 bildet für ein unendliches n gleich 1 . Somit ergibt die Rechte Seite ebenso m.

Ich begründe wegen der Einschließungsregel:
$\begin{eqnarray*} m\leq nte \sqrt{a^n+b^n+c^n} \leq m \end{eqnarray*}$ folgt das der Grenzwert von der nten $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^n+b^n+c^n} \end{eqnarray*}$ gleich m ist und das haben wir ja definiert als max(a,b,c)

01.12.2015, 11:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von arni19102
nte Wurzel von 3 bildet für ein unendliches n gleich 1 .

Das ist ein bißchen merkwürdig ausgedrückt.

Zitat:

Original von arni19102
Ich begründe wegen der Einschließungsregel:
$\begin{eqnarray*} m\leq nte \sqrt{a^n+b^n+c^n} \leq m \end{eqnarray*}$

Und das ist definitiv falsch. Korrekt ist:
$\begin{eqnarray*} m \leq \sqrt[n]{a^n+b^n+c^n} \leq \sqrt[n]{3} \cdot m \end{eqnarray*}$

01.12.2015, 12:26

arni19102

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