LaPlace Operator für krumme Karte berechnen

30.11.2015, 21:04	Con.Jim	Auf diesen Beitrag antworten »
LaPlace Operator für krumme Karte berechnen Hallo! Ich hab momentan Probleme damit die "Formel" für den LaPlace Operator zu berechnen und hatte gehofft jemand von euch würde sich vielleicht damit auskennen. $\begin{eqnarray} <br /> \Delta s = \frac{1}{\sqrt{det G^{\Phi}}}\sum\limits_{i,j=1}^{n} \delta_{i}^{\Phi}\left[ \sqrt{detG^{\Phi}} \left[ \left( G^{\Phi} \right)^{-1} \right] ^{ij} \delta_{j}^{\Phi}s \right]<br /> \end{eqnarray}$ Ich weiß leider nicht, wie man dieses partielle Ableitung Symbol bei latex eingibt.. dafür sollen die Delta stehen, tut mir Leid. Ich bin mir fast sicher, dass ich einfach zu doof zum einsetzen bzw. ausrechnen bin, daher werd ich euch nicht mit dem kompletten Beispiel langweilen. Ich hab einfach mal alle Werte die dort gefragt sind ausgerechnet, verstehe aber nicht wie ich nun damit auf eine Lösung kommen soll. Ich hab: n=2 I:=(2-dimensionale) Einheitsmatrix (G ist die grammsche Matrix, ich weiß nicht ob das eine Rolle spielt aber ich schreibs zur Sicherheit mal dazu. Die Werte sind eh schon berechnet.) $\begin{eqnarray} G=I \cdot (r^{2}+ s^{2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G^{-1} = I \cdot \frac{1}{r^{2}+s^{2}} \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} detG = (r^{2}+s^{2})^{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\delta_{1}^{\Phi}, \delta_{2}^{\Phi}) = (\delta r, \delta s) \end{eqnarray}$ herauskommen müsste: $\begin{eqnarray} \Delta s = \frac{1}{r^{2}+s^{2}} \left[(\delta_{r}^{2}+\delta_{s}^{2} )s\right] \end{eqnarray}$ Wenn ich allerdings die Werte einsetze komm ich auf absoluten Blödsinn. Ausserdem ist in der gegebenen Lösung keine Matrix mehr zu sehen.. ich hab ehrlich gesagt keine Ahnung wie die die Einheitsmatrix losgeworden sind. Vorallem versteh ich die Art die Summe anzuschreiben (und somit die hochzahl bei der inversen Matrix) nicht so ganz.. heißt (i,j=1), dass immer i = j gilt und die beiden Werte gemeinsam von 1 bis n laufen? und die Matrix ist dann bei i=j=1 hoch 1 und bei i=j=2 hoch 4? Oder is das einfach, damit man keine zweite Summe anschreiben muss? Wäre jedenfalls toll wenn mir dabei jemand helfen könnte.. Ich verzweifle seit Stunden daran. Schönen Abend noch und danke fürs lesen!
30.11.2015, 23:42	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LaPlace Operator für krumme Karte berechnen Für einen Vektor $\begin{eqnarray} u=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und eine 2x2-Matrix $\begin{eqnarray} A=(a_{ij}) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} u^TAu=\sum_{i,j=1}^2 u_ia_{ij}u_j \end{eqnarray}$ . Rechts steht eine Doppelsumme, in der i und j unabhängig voneinander von 1 bis 2 laufen. Im Grunde steht in der Definition von $\begin{eqnarray} \Delta s \end{eqnarray}$ nichts anderes. Dass die Indizes i,j in $\begin{eqnarray} \left[\left( G^{\Phi} \right)^{-1} \right] ^{ij} \end{eqnarray}$ oben geschrieben wurden, mag der Tensornotation geschuldet sein. Weil $\begin{eqnarray} \left[\left( G^{\Phi} \right)^{-1} \right] \end{eqnarray}$ aber auch nur eine verkappte Einheitsmatrix ist, bleiben in der Doppelsumme nur die Summanden mit i=j übrig.
01.12.2015, 11:36	Con.Jim	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort! Ahh.. dann beschreibt dieses ^(ij) die einzelnen Einträge (also Spalte und Zeile) der Matrix? Okay, okay.. Ziemlich irritierend :x Vielen Dank für die Klarstellung! Und bei dem von dir geschriebenen wäre u dann: $\begin{eqnarray} u=\begin{pmatrix} \delta_{1}^{\Phi} \\ \delta_{2}^{\Phi} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\delta_{r} \\ \delta_{s} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder? Dankeschön! Schöne Grüße!
01.12.2015, 19:14	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das wäre u. Und das Hoch- oder Tiefstellen von Indices für kovariante und kontravariante Tensoren ist üblich - auch wenn ich mir nie merken kann, was jetzt oben oder unten ist
01.12.2015, 21:02	Con.Jim	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe Vielen Dank! Da ich morgen eine Klausur hab wollte ich das unbedingt noch verstehen :P Schöne Grüße!

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