Restklassenring

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30.11.2015, 21:38	Cmmb99	Auf diesen Beitrag antworten »
Restklassenring Meine Frage: Was sind Restklassenringe ganz einfach formuliert? Welche Gegebenheiten braucht man dafür, außer natürlicher Zahlen? Und was ist deren Wirkung? Meine Ideen: Habe mich schon auf mehreren Seiten durchgeklickt, verstehe es allerdings nicht, weil ich es auf 10. Klasse (EF) Niveau bräuchte.
30.11.2015, 21:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf wikipedia wird Restklasse so einfach erklärt, dass es nicht mehr einfacher geht.
30.11.2015, 22:20	Cmmb99	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir hatten noch nicht mal modulo in der Schule geklärt, was mir den Text in Wikipedia um einiges erschwert. Was kongruenz heißt, wusste ich auch nicht, was kein Thema war zu verstehen, dennoch gibt es auch da wieder einen Bezug zu diesen Modulo. Des Weiteren heißt es in Wikipedia sofort Restklassen, die allerdings auch nicht genauer definiert sind. Wie die sich zum Beispiel bilden, also was das ist, wie die sich einordnen lassen. Dann wird dort von gleichem Rest gesprochen. Allerdings hat EINE durchgeführte Division doch auch nur EINEN Rest, oder nicht? Damit etwas gleich sein kann benötigt es doch dann zwei Sachen, die halt gleich sind. Aber eine Division kann doch nicht 2x Rest haben?! Bzw. wenn doch, dann wie???
30.11.2015, 23:01	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dann lies halt erstmal was zu den Begriffen, die dir unklar sind, z.B. Modulo und Restklasse . Und geh dann zu Restklassenringen über. Wenn man hinten anfängt, wirds natürlich nix. Für ein Forum sprengt sowas leider jeden Rahmen, hier kann man besser konkrete Verständnisfragen stellen. Die Frage "Was sind Restklassenringe" lässt sich nicht in ein, zwei Sätzen vollverständlich beantworten, schon gar nicht wenn dabei gleich zehn neue Begriffe auftauchen, die du nicht kennst. Erstmal selber in das Thema einlesen, dann kann man dieses Forum nutzen, um etwaige Lücken zu schließen. Wozu um Himmels willen braucht man in der 10. Klasse eigentlich Restklassenringe ??? Nach meinem Wissensstand sind das alles Sachen, die selbst an der Oberstufe nicht behandelt werden. Und du musst schon in der Unterstufe da bei?
01.12.2015, 11:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wikipedia sagt: Es sei $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ eine von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ verschiedene ganze Zahl und $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ eine beliebige ganze Zahl. Die Restklasse von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ modulo $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ , geschrieben $\begin{eqnarray} a + m \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , ist die Äquivalenzklasse von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ bezüglich der Kongruenz modulo $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ , also die Menge der Ganzzahlen, die bei Division durch $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ den gleichen Rest wie $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ergeben. "Restklasse", "Äquivalenzklasse", "Kongruenz modulo m" sind lediglich Begriffe, die man verstehen kann, wenn man sich mit "Relationen" beschäftigt hat. In diesem Zusammenhang muss man sich nicht an diesen Begriffen aufhalten und auch noch nichts davon verstehen. In der Definition ist erklärt, dass die Klasse von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ die Menge der ganzen Zahlen bei Division durch $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ sind, die denselben Rest haben. Beispiele dafür gibt Wikipedia dann auch : Die Restklasse von 1 modulo 3 ist die Menge $\begin{eqnarray} \{\ldots-8,-5,-2,1,4,7,10,\ldots\} \end{eqnarray}$ . Das gilt, weil alle diese Zahlen bei Division durch 3 den Rest 1 haben. 10:3=3 Rest 1, 112:3=37 Rest 1, ...
02.12.2015, 20:05	Cmmb99	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, super! Verstanden! Danke! Das Thema Restklassenringe haben wir in der Schule auch nicht und werden wir auch nicht haben. Wenn man sich allerdings die einstellige Quersumme von x^3 anguckt, wird man feststellen, dass dort folgende Regelmäßigkeit ist: 1, 8, 9 So geht es der Reihe nach und da ein Mathelehrer meiner Schule meinte, dass sich das durch den Faktor 9 und evtl. durch Restklassenringe erklären lassen könnte, war es mir deshalb wichtig das zu verstehen. Also vielen Dank!
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03.12.2015, 09:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mathelehrer haben fast immer recht. Die Erklärung geht so: Die natürlichen Zahlen n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,... haben bei Division durch 9 den Rest r=1,2,3,4,5,6,7,8,0,1,2,3,4,5,6,7,8,0,... , also haben die 3. Potenzen n^3 bei Division durch 9 den Rest 1,8,0,1,8,0,1,8,0,... . Die Quersumme einer natürlichen Zahl hat bei Division durch 3 oder 9 denselben Rest wie die Zahl selbst ( 3-er Probe bzw. 9-er Probe: eine ganze Zahl ist genau dann durch 3 bzw. 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 bzw 9 teilbar ist . Das ist genau dann der Fall, wenn die Zahl und ihre Quersumme bei Division durch 3 bzw. 9 den Rest 0 hat. ) Anmerkung: Restklassen kann man addieren und multiplizieren, deshalb nennt man die Menge der Restklassen einen Ring, daher kommt der Name Restklassenring. Mathematikgeschichte: Der Fürst der Mathematik, Carl Friedrich Gauß (1777 Braunschweig - 1855 Göttingen) hat die Kongruenzrechnung erfunden und in seinen "Disquisitiones Arithmeticae" untersucht und damit die Grundlagen der modernen Zahlentheorie gelegt.
05.12.2015, 18:45	Cmmb99	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es bei x^3 dann diese 1, 8, 9er Folge gibt; wieso ist es bei x^2 dann wie bei einer Oktave erst aufsteigend 1, 4, 9, 7, dann wieder den selben Weg zurück 7, 9, 4, 1 und dann einfach abschließend eine 9? Sodass sich dann halt diese Regelmäßigkeit an einzelnen Quersummen von 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, 9, 1,4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, 9, 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4 usw. ergibt? Wieso sind da dann diese Regelmäßigkeiten? Gibt es das bei allen Potenzen? Und wieso hat ausgerechnet dann x^3 die am wenigsten vorkommenden Ziffern? weil: x^2 = 1, 4, 7,9 ende x^3 = 1, 8, 9 ende x^4 = 1, 4, 7,9 ende - also wie bei x^2 (was man vielleicht wegen der geraden Exponenten behaupten könnte, aber dann kommt x^5, was aber nicht zu x^3 als ungerader Exponent passt) -> weil: x^5 = mind. 7 Ziffern = 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9 Also wie kann man diese Regelmäßigkeiten dann auch noch unterteilen?
06.12.2015, 13:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist viel zu kompliziert. Solche Fragen nach der algebraischen und arithmetischen Struktur der Restklassenringe $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/m\mathbb Z,+,\cdot) \end{eqnarray}$ beantwortet z.B. Helmut Hasse (25.08.1898-26.12.1979) in seinem Buch "Vorlesungen über Zahlentheorie", Springer Verlag, 1950. Dieses und andere seiner Werke bemühe ich mich seit 40 Jahren (mit mäßigem Erfolg) zu verstehen.
06.12.2015, 15:38	Cmmb99	Auf diesen Beitrag antworten »
Also lässt dich das alles noch nicht wirklich erklären, bzw. der, der es erklärt hat, hat das nicht wirklich leicht erklärt?
06.12.2015, 18:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr viel ist seit den Anfängen vor und nach C.F. Gauß durch berühmte Algebraiker und Zahlentheoretiker erarbeitet und veröffentlicht worden - viele Probleme sind sehr leicht zu formulieren und zu verstehen - fast alle Erkenntnisse und Lösungen sind extrem schwierig zu verstehen. Die von mir zitierten Vorlesungen von Helmut Hasse hat dieser als Buch veröffentlicht, weil alle seine anderen Werke auf einem sehr viel höheren Niveau sind und nur von Spezialisten verstanden werden können. In seinem "Zahlbericht" (Teil I "Klassenkörpertheorie", Teil Ia "Beweise zu Teil I", Teil II "Reziprozitätsgesetz") schreibt H.Hasse "Eine Lektüre in einem Zug des im Gegensatz zu Teil I sehr gedrängt und formal gehaltenen Teils Ia möchte nicht anempfohlen werden." Er war ein herausragendes Genie der Mathematik im 20. Jahrhundert und hat gewußt, dass seine Bücher selbst für Experten sehr schwer zu verdauen sind. Wenn Du wirklich am Thema interessiert bist, musst Du Mathematik studieren und dich nach den Anfangssemestern auf Algebra und Zahlentheorie spezialisieren. Biographien einiger wichtiger Zahlentheoretiker findet man z.B. hier: http://www.numbertheory.org/ntw/N14.html#biographies Anmerkung: Es ist eher nicht Aufgabe der Forscher, etwas zu erklären, das Erklären ist Aufgabe von Lehrern. Tipp: Frage deine Lehrer, wenn die nicht weiter wissen, studiere und frage deine Professoren, wenn die nicht weiter wissen, forsche selbst.

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