Grenzwert berechnen

01.12.2015, 00:25

mudmath

Grenzwert berechnen

Hat jemand eine Idee, wie ich bei folgender Aufgabe vorgehen kann?:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(1-\frac{1}{2n-3} \right)^{8n-7} \end{eqnarray*}$

Ich hab jetzt auf zich verschiedene Arten versucht das zu vereinfachen aber ich kriege nur Blödsinn raus.

01.12.2015, 00:29

Mulder

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RE: Grenzwert berechnen.
Ist nur ein bisschen Spielerei mit Potenzgesetzen und dem bekannten Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left ( 1+ \frac{x}{n} \right )^n = e^x \end{eqnarray*}$

01.12.2015, 00:33

mudmath

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RE: Grenzwert berechnen.

Zitat:

Original von Mulder
Ist nur ein bisschen Spielerei mit Potenzgesetzen und dem bekannten Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left ( 1+ \frac{x}{n} \right )^n = e^x \end{eqnarray*}$

Diese Spielerei bringt mich gerade zum verzweifeln. Ich weiß das 1/e^4 rauskommen muss aber komme nciht im entferntesten zum Ergebnis

01.12.2015, 00:38

Mulder

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RE: Grenzwert berechnen.
Vielleicht hilft folgendes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left ( 1+ \frac{x}{n} \right )^n = e^x \end{eqnarray*}$

Das kennst du. Es muss aber nicht zwingend genau "n" in der Klammer im Nenner und im Exponenten stehen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left ( 1+ \frac{x}{\text{irgendwas}} \right )^{\text{irgendwas}} = e^x \end{eqnarray*}$

gilt ebenso; Hauptsache im Nenner in der Klammer und im Exponenten steht der gleiche von n abhängige Term.

Damit schaffst du es hoffentlich.

01.12.2015, 00:57

mudmath

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Also soll im Nenner 8n-7 oder im Exponenten 2n-3 stehen? Letzteres würde mehr Sinn ergeben glaube ich. Nur wie man da genau vorgeht weiß ich nicht.

Ich ende dann immer mit irgendsowas komsichen wie dem hier:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to infinity}= \left(1-\frac{1}{2n-3} \right)^{2n-3}*\left[\left(1-\frac{1}{2n-3} \right)^{2n} \right]^{3}*\left(1-\frac{1}{2n-3} \right) ^{-4} \end{eqnarray*}$

01.12.2015, 01:09

Mulder

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$\begin{eqnarray*} 8n-7=4 \cdot (2n-3)+5 \end{eqnarray*}$

01.12.2015, 01:17

mudmath

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Zitat:

Original von Mulder
$\begin{eqnarray*} 8n-7=4 \cdot (2n-3)+5 \end{eqnarray*}$

Und die 5 dichte ich mir einfach dazu und die spielt dann keine Rolle mehr?

01.12.2015, 01:20

Mulder

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Ich weiß nicht, was du mit dazudichten meinst.

Nochmal der Hinweis: Potenzgesetze nutzen. Wenn deine Antworten/Nachfragen immer 5 Minuten später kommen, investierst du auch nicht viele Gedanken in die Aufgabe. Solltest du aber vielleicht mal tun. Keiner verlangt von dir, dass du immer alle Aufgaben in Sekundenschnelle löst. 90% habe ich dir nun schon abgenommen.

Und ich muss morgen frühr zur Arbeit, also gute Nacht. Wink

01.12.2015, 01:40

mudmath

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ok also ich habs jetzt folgendermaßen aufgeschrieben, da ich es bis morgen brauche:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(1-\frac{1}{2n-3} \right)^{8n-7}= \lim_{n \to \infty } \left(1-\frac{1}{2n-3} \right)^{4(2n-3)}*\left[\left(1-\frac{1}{2n-3} \right)^{5}=1\right] = 1*\lim_{n \to \infty } \left(1-\frac{1}{2n-3} \right)^{4(2n-3)}=1*(\frac{1}{e})^{4}=\frac{1}{e^{4}} \end{eqnarray*}$

01.12.2015, 10:48

klarsoweit

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Das Ergebnis stimmt, aber die Rechnung ist formal eine Katastrophe. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{2n-3} \right)^{8n-7} = \lim_{n \to \infty} \left[ \left(1-\frac{1}{2n-3} \right)^{4(2n-3)} \cdot \left(1-\frac{1}{2n-3} \right)^5 \right] = \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{2n-3} \right)^5 \cdot \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{2n-3} \right)^{4(2n-3)} = 1 \cdot (\frac{1}{e})^4 = \frac{1}{e^4} \end{eqnarray*}$

Dabei ist zu erwähnen, daß das 2. Gleichheitszeichen nur dann gilt, wenn die beiden einzelnen Grenzwerte existieren. smile

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