Gradient einer stetigen Raumkurve

01.12.2015, 12:10	Kaffeevernichter	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradient einer stetigen Raumkurve Hallo, ich frage mich ob eine stetige Kurve im $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ stehts einen Gradienten ungleich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (Nullvektor?) hat? Wie komme ich auf diese Frage: der Gradient ener Kurve oder Ebene gibt mir j die ichtung der größen Steigung, da meine Kurve im $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ aber immer in irgendeine Richtung wächst muss meiner Meinung nach immer ein Eintrag des Gradienten ungleich $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ sein. Wie sieht das an "Ecken" der Kruve aus, ich habe ja Stetigkeit aber keine Glattheit gefordert. Wie sieht der Gradient an einer Singularität aus? Ist er dort Null(Nullvektor)? (Das entspricht jetzt zwar nicht der stetigen Kurve wäre mir aber für mein Cerständnis wichtig )
01.12.2015, 19:22	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient einer stetigen Raumkurve Also ich kenne den Gradienten nur im Zusammenhang mit Funktionen mehrerer Veränderlicher. Eine Kurve wie du sie beschreibst ist doch eine Abbildung $\begin{eqnarray} M\to \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} M\subset \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Was also meinst du? Wenn es nur um die Ableitung geht, dann betrachte die konstante Kurve $\begin{eqnarray} t\mapsto (1,1,1)^T \end{eqnarray}$
01.12.2015, 20:27	Kaffeevernichter	Auf diesen Beitrag antworten »
In meiner Angabe lautet es: "eine Kurve sei definiert durch zwei Gleichungen $\begin{eqnarray} f\left(x,y,z\right) = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g\left(x,y,z\right) = 0 \end{eqnarray}$ definiert." Ich habe diese beiden Gleichungen als Flächen aufgefasst und ihre Schnittkurve als Raumkurve bezeichnet... Was ich mir auch frage wie sieht die Kurve aus wenn die beiden Flächen "Berge" sind wobei sie sich nur an ihren Gipfeln berühren (Mathematische unschön formuliert aber dafür bildlich). Dann habe ich ja keine Kurve sondern nur einen Schnittpunkt.
01.12.2015, 23:53	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das beatnwortet für mich noch immer nicht, was du unter dem Gradienten einer Raumkurve verstehst.
02.12.2015, 21:40	Kaffeevernichter	Auf diesen Beitrag antworten »
Also unter dem Gradienten versthe ich den Vektor der partiellen Ableitungen, also für eine Funktion $\begin{eqnarray} g\left(x,y,z\right) \end{eqnarray}$ wäre das: $\begin{eqnarray} \nabla g\left(x,y,z\right) = \begin{pmatrix} \frac{dg}{dx} \\ \frac{dg}{dx} \\ \frac{dg}{dx} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .
03.12.2015, 01:06	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
g ist also eine skalare Funktion von drei Veränderlichen. Tut mir leid, aber ich sehe hier keinen Zusammenhang zu einer Kurve. Vielleicht weiß jemand anders, worauf zu hinaus willst.
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03.12.2015, 03:17	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du einen Ellipsoid im Raum und eine Ebene als Beispiel für 2 Flächen hast, dann ist die Schnittmenge eine Ellipse im Raum = Raumkurve. Was soll jetzt bildlich der Gradient in einem Punkt der Ellipse sein ? ----------------------------------------------------------------------- Wenn zum Beispiel z=h(x,y) ( Halbellipsoid ) gilt, dann könnte man schon fragen, welcher Punkt auf der Schnittellipse den größten z-Wert hat. Das wäre aber dann ein Extremum von h(x,y) unter der Nebenbedingung der Ebene. ------> Lagrange. Meinst du etwas in dieser Richtung ?
04.12.2015, 10:52	Kaffeevernichter	Auf diesen Beitrag antworten »
Also setzten wir mal auf Null, ich glaube ich habe mich da etwas verrannt Gehen wir von zwei stetigen Funktionen aus $\begin{eqnarray} g\left(x,y,z\right)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f\left(x,y,z\right)=0 \end{eqnarray}$ und nehmen an, dass sich die beiden Funktionen so schneiden, dass sie eine Schnittkurve bilden. Welche Gestalt (also welche Mathematische Form) hat diese Schnittkurve? Kann ich diese Kurve (lokal) parameterieseren (mach $\begin{eqnarray} x,y,z \end{eqnarray}$ und den Wert nach dem ich parameteriesiere nenne ich dann $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ) und somit auf die von URL erwähnte Gestalt $\begin{eqnarray} r\left(t\right) \end{eqnarray}$ bringen? Soweit ich weiß ist ja eine Bedingung für die Parameteriesierbarkeit, dass die partielle Ableitung nach der Variable nach der ich Parameteriesieren will nicht verschinden darf. Deswegen wollte ich auf den Gradienten hinaus, da dieser alle partiellen Ableitungen beinhaltet und wenn er $\begin{eqnarray} \left(0,0,0\right)^T \end{eqnarray}$ werden würde ich diese Bedingung nicht erfüllt hätte. Ich hoffe meine Fragestellung ist jetzt etwas exakter und verständlicher

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