DGL durch Substitution

01.12.2015, 21:02

derM.

Auf diesen Beitrag antworten »

DGL durch Substitution

Meine Frage:
wie kontrolliere ich, ob meine Lösung korrekt ist? kann man DGL durch Substitution mit Wolfram alpha bzw. Matlab lösen? Wenn ja, wie?

$\begin{eqnarray*} 3x^3y'(x^3)+(x^2+1)*y(x^3)=0 \end{eqnarray*}$ Substitution durch $\begin{eqnarray*} z(x)=xy(x^3) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} z(x)=xy(x^3)<br /> y(x^3)= \frac{z}{x}<br /> y'(x^3)= \frac{z'*x-z}{x^2} <br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt einsetzen:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{3x^3*(z'*x-z)}{x^2}+\frac{(x^2+1)*z}{x}=0<br /> (3x^2z'-3xz)+\frac{(zx^2+z)}{x}=0<br /> (3x^2z'-3xz)+zx+\frac{z}{x}=0 |*x<br /> 3x^3z'-2x^2z+z=0<br /> z'= \frac{(2zx^2-z)}{3x^3}<br /> z'= \frac{z*(2x^2-1)}{3x^3}<br /> \frac{z'}{z}= \frac{(2x^2-1)}{3x^3}<br /> \int_{}^{} \! \frac{1}{z} \, dz = \int_{}^{} \! \frac{(2x^2-1)}{3x^3} \, dx<br /> ln(z)=\frac{2x}{3}+\frac{1}{6x^2} + C <br /> z=e^(\frac{2x}{3}+\frac{1}{6x^2} + C)<br /> xy(x^3)=e^(\frac{2x}{3}+\frac{1}{6x^2} + C)<br /> y(x^3)=\frac{e^(\frac{2x}{3}+\frac{1}{6x^2} + C)}{x}<br /> \end{eqnarray*}$

Stimmt meine Lösung?

Danke für eure Hilfe im Vorhinein

01.12.2015, 21:12

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist $\begin{eqnarray*} y'(x^3) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y(x^3) \end{eqnarray*}$ ? Steht das wirklich so in der Aufgabe?

01.12.2015, 21:19

derM.

Auf diesen Beitrag antworten »

yep, es ist glaube ich wie y(x) zu behandeln

[attach]39944[/attach]

01.12.2015, 21:58

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo steht das? Bevor ich mich weiter mit der Aufgabe befasse, würde ich es gerne genau wissen. Oder jemand anders hilft weiter, ich kenne diesen Ausdruck nicht.

01.12.2015, 22:11

derM.

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das ist die Angabe, leider kann ich auch nichts mehr dazu beitragen.

Ich habe die Substitution benutzt, umgeformt, abgeleitet und dann in die Gleichung eingesetzt(Regeln der Substitution beachtet). Am Ende habe ich DGL durch getrennte Variablen benutzt und integriert und natürlich auch wieder rück-substituiert.

01.12.2015, 22:15

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von derM.
$\begin{eqnarray*} y(x^3)= \frac{z}{x}<br /> y'(x^3)= \frac{z'*x-z}{x^2} \end{eqnarray*}$

Und schon ist der Fehler passiert: Du hast links die Kettenregel ignoriert. unglücklich

unglücklich

Richtig geht es ab der zweiten Zeile so weiter:

$\begin{align*} (y(x^3))' = \frac{z'\cdot x-z}{x^2} \end{align*}$

$\begin{align*} y'(x^3)\cdot 3x^2 = \frac{z'\cdot x-z}{x^2} \end{align*}$

$\begin{align*} y'(x^3) = \frac{z'\cdot x-z}{3x^4} \end{align*}$ .

Anzeige

01.12.2015, 22:16

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das hatte ich befürchtet.

Wink

Wink

01.12.2015, 22:24

derM.

Auf diesen Beitrag antworten »

das hatte ich auch befürchtet deshalb habe ich zwei Lösungen ausgerechnet, meine erste Version habe ich gepostet und die zweite war in Bearbeitung Augenzwinkern

Augenzwinkern

danke euch Gott

Gott

nehme beide Lösungen und frage dem Tutor welche ich präsentieren soll
die zweite Lösung poste ich morgen

Mathema und Hal 9000, was habt ihr beide studiert?

01.12.2015, 22:42

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso willst du denn nun beide Lösungen nehmen? HAL hat dir doch gerade bestätigt, dass diese Lösung falsch ist. Es handelt sich also nur um eine Verkettung.

Ich habe mittlerweile auch gerechnet - dann können wir ja morgen vergleichen.

02.12.2015, 17:58

derM.

Auf diesen Beitrag antworten »

zur Sicherheit oder damit ich mich blamiere LOL Hammer

LOL Hammer

$\begin{eqnarray*} 3x^3y'(x^3)+(x^2+1)*y(x^3)=0 \end{eqnarray*}$ Substitution durch $\begin{eqnarray*} z(x)=xy(x^3) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} z(x)=xy(x^3)<br /> y(x^3)= \frac{z}{x}<br /> y'(x^3)= \frac{z'*x-z}{3x^4} <br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt einsetzen:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{3x^3*(z'*x-z)}{3x^4}+\frac{(x^2+1)*z}{x}=0<br /> \frac{(z'x-z)}{x}+\frac{(zx^2+z)}{x}=0 |*x<br /> (xz'-z)+zx^2+z=0 <br /> z'x+x^2z=0<br /> z'= -\frac{(zx^2)}{x}<br /> z'= -zx<br /> \frac{z'}{z}= -x<br /> \int_{}^{} \! \frac{1}{z} \, dz = \int_{}^{} \! -x \, dx<br /> ln(z)=-\frac{x^2}{2}+ C <br /> z=e^(-\frac{x^2}{2}+ C )<br /> xy(x^3)=e^(-\frac{x^2}{2}+ C )<br /> y(x^3)=\frac{e^(-\frac{x^2}{2}+ C )}{x}<br /> \end{eqnarray*}$

wie ist dein Ergebnis @Mathema

02.12.2015, 18:07

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Das deckt sich. Benutze bitte, wenn du einen Exponenten mit Latex schreibst keine runden Klammern, sondern Mengenklammern. Die Konstante würde ich als Faktor rausziehen, also:

$\begin{eqnarray*} y(x^3)=\frac{ce^{-\tfrac{1}{2}x^2}}{x} \end{eqnarray*}$

Nun sollst du ja sicherlich noch $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ angeben.

02.12.2015, 18:23

derM.

Auf diesen Beitrag antworten »

danke für den Tipp

um y(x) zu bekommen, muss ich die x Werte der Lösung durch x^2 divideren oder?

02.12.2015, 18:31

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du darauf?

02.12.2015, 18:40

derM.

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} y(\frac{x^3}{x^2} )=y(x) \end{eqnarray*}$ das gleiche mit der Lösung dachte ich

02.12.2015, 18:50

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Na - auf die Idee muss man auch erst mal kommen... Du scheinst noch nicht die Verkettung begriffen zu haben. Ich gebe dir mal ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{x+1}{x^2} \end{eqnarray*}$

Dann ist:

$\begin{eqnarray*} y(f(x))=y(x^2)=\frac{x^2+1}{(x^2)^2}=\frac{x^2+1}{x^4} \end{eqnarray*}$

Erkennst du nun, wie wir uns anhand von $\begin{eqnarray*} y(x^2) \end{eqnarray*}$ jetzt $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ überlegen können.

02.12.2015, 19:18

derM.

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{ce^{\frac{-\sqrt[3]{x^2} }{2}}}{\sqrt[3]{x} } \end{eqnarray*}$

02.12.2015, 19:25

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Das war mein Ergebnis.

Wink

Wink

02.12.2015, 19:38

derM.

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir

Prost

02.12.2015, 19:39

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne - na dann Prost

Prost

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »