Tangentialvektor einer Schnittkurve

02.12.2015, 17:39

Sicherheitsmaßnahme

Tangentialvektor einer Schnittkurve

Hey Leute,

Sei die Kurve C als Schnitt der Fläche $\begin{eqnarray*} x^4+y^4+z^4=1 \end{eqnarray*}$ und der Gleichung $\begin{eqnarray*} y^3=x \end{eqnarray*}$ gegeben. Geben Sie den Tangentialvektor der Schnittkurve am Punkt $\begin{eqnarray*} K=\left(0,0,1\right) \end{eqnarray*}$ an.

Ich weiß schon mal garnicht wo/ wie ich anfangen soll bzw wie ich dann den Tangentialvektor aufstelle.
Wie bekomme ich die Funktion der Schnittkurve?

Lg Sicherheitsmaßnahme

03.12.2015, 13:05

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Tangentialvektor einer Schnittkurve
Hat man eine Parameterdarstellung einer Kurve

$\begin{eqnarray*} \vec r(t)=(x(t),y(t),z(t)) \end{eqnarray*}$

so ist der Tangentenvektor einfach $\begin{eqnarray*} \vec r'(t) \end{eqnarray*}$ . Bei der gegebenen Kurve ist es naheliegend, die y-Koordinate als Parameter zu verwenden. Bezeichnet man den Parameter trotzdem mit t, lautet die Parameterdarstellung der Kurve

$\begin{eqnarray*} \vec r(t)=(t^3, t, \pm\sqrt [4]{1-t^{12}-t^4}) \end{eqnarray*}$

welche den kleinen Nachteil hat, dass man unterschiedliche Parameterdarstellungen der Kurventeile oberhalb und unterhalb der x-y-Ebene hat. Für die konkrete Aufgabenstellung ist das belanglos. Nun sollte es kein Problem sein, den gesuchten Tangentenvektor zu bestimmen.

03.12.2015, 13:43

Sicherheitsmaßnahme

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, danke für deine Antwort.

Für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ setzte ich jetzt also den $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ Wert des Punktes an dem ich den Tangentialvektor berechnen will ein?

Bei mir wäre der Tangentialvektor also $\begin{eqnarray*} r'(t=0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Richtig?

03.12.2015, 13:45

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig!

03.12.2015, 13:57

Sicherheitsmaßnahme

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Momentan steh ich gerade an, wie man am besten $\begin{eqnarray*} x^2+y^2-2-t=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^3-y^3=t \end{eqnarray*}$ parametrisiere.

07.12.2015, 10:50

Kaffeevernichter

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Tangentialvektor einer Schnittkurve

Zitat:

Original von Huggy
Hat man eine Parameterdarstellung einer Kurve

$\begin{eqnarray*} \vec r(t)=(x(t),y(t),z(t)) \end{eqnarray*}$

so ist der Tangentenvektor einfach $\begin{eqnarray*} \vec r'(t) \end{eqnarray*}$ .

Ist das nicht der Normalvektor?

07.12.2015, 11:18

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Tangentialvektor einer Schnittkurve
Nein, das ist schon der Tangentenvektor.

Zitat:

Momentan steh ich gerade an, wie man am besten $\begin{eqnarray*} x^2+y^2-2-t=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^3-y^3=t \end{eqnarray*}$ parametrisiere.

Man kann das zwar stückweise über die Cardanischen Formeln parametrisieren, aber eine befriedigend einfache Parametrisierung ist mir da auch nicht eingefallen.

Neue Frage »

Antworten »

Tangentialvektor einer Schnittkurve

Verwandte Themen