Konvergenz von Folgen (Abstrakt)

02.12.2015, 19:41	KeineAhnung!	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Folgen (Abstrakt) Meine Frage: Hi, ich steh hier vor folgendem Problem: Sei (X,d)ein metrischer Raum und sei $\begin{eqnarray} \left(x_n\right)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ eine Folge in X. I) Ist $\begin{eqnarray} a: \mathbb N -> \mathbb N \end{eqnarray}$ bijektiv und $\begin{eqnarray} \left(x_n\right)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ konvergent in $\begin{eqnarray} x=\lim_{n \to unendlich} x_{n} \end{eqnarray}$ so konvergiert auch die Folge $\begin{eqnarray} \left(x_{a(n)})\right)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ ] und $\begin{eqnarray} x=\lim_{n \to unendlich} x_{a(n)} \end{eqnarray}$ . II)Sind die Teilfolgen $\begin{eqnarray} \left(x_2n\right)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left(x_n+1\right)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ konvergent mit $\begin{eqnarray} x=\lim_{n \to unendlich} x_{2n}=\lim_{n \to unendlich} x_{2n+1} \end{eqnarray}$ , so konvergiert auch $\begin{eqnarray} \left(x_n\right)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ und es gilt $\begin{eqnarray} \lim_{n \to unendlich} x_{n} \end{eqnarray}$ . III) Sind die Teilfolgen $\begin{eqnarray} (x_{2n})_{n\in \mathbb N },(x_{2n+1})_{n\in \mathbb N } und (x_{3n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ konvergent, so auch $\begin{eqnarray} (x_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: I) Momentan kann ich ehrlich gesagt keinen schlüssigen Zusammenhang zwischen bijektiven a und einer zwingend konvergenten Komposition feststellen. Liegt unter umständen daran dass ich mir nicht 100% die Komposition vorstellen kann wenn das jemand erklären könnte... II) Die Aussage darin wäre ja: Das Limit einer konvergenten Folge ist gleich dem seiner Teilfolgen. Der Satz von Bolzano sagt mir ja das ein solcher Häufungspunkt bei einer beschränkten Folge existieren muss. Die Teilfolge ist ja auch beschränkt - muss folglich selbst einen Häufungspunkt haben. Wenn ich abkürzen möchte würde ich sagen er müsste derselbige wie in der kompletten Folge sein da diese nur einen Besitzen darf...? III) Wäre die Verknüpfung mit 3n nicht redundant da diese Information schon in den beiden anderen enthalten ist?? Vielen Dank für kommende Hilfe
03.12.2015, 11:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei III liegt keine Redundanz vor, in II wird zusätzlich gefordert, dass die beiden Grenzwerte gleich sind. Gegenbeispiel wäre die Folge 1,-1,1,-1,...

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