Mengengleichheit

02.12.2015, 22:28	Dr. Inkognito	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengengleichheit Meine Frage: Hallo, liebe Profis Es geht um folgende Aufgabe. Beweisen Sie: Es sei $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ eine Menge. Dann gilt für alle $\begin{eqnarray} A,B\in \mathcal{P}(M): \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \cup B = (A \backslash B) \cup (B \backslash A) \cup (A \cap B) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich versuche, diese Mengengleichheit mit doppelseitiger Teilmenge zu beweisen, wobei ich mit der Aussagenlogik arbeite. Dabei schaffe ich es anscheinend zu beweisen, dass $\begin{eqnarray} (A \backslash B) \cup (B \backslash A) \cup (A \cap B) \subseteq A \cup B \end{eqnarray}$ Ich gehe folgendermaßen vor: Sei $\begin{eqnarray} x \in (A \backslash B) \cup (B \backslash A) \cup (A \cap B) \end{eqnarray}$ Dann gilt für $\begin{eqnarray} x: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B \wedge x \notin A) \vee (x \in A \wedge x \in B) \end{eqnarray}$ (Hier werfe ich quasi jeweils eine Aussage jeder Und-Verknüpfung weg, da ich weiß, dass wenn beide gelten, dann gilt auch eins davon) $\begin{eqnarray} \Rightarrow x \in A \vee x \in B \vee x \in A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x \in A \vee x \in B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x \in (A \cup B) \end{eqnarray}$ Soweit so gut, allerdings komme ich bei dem zweiten Teil nicht weiter... Sei $\begin{eqnarray} x \in (A \cup B) \end{eqnarray}$ Dann $\begin{eqnarray} x \in A \vee x \in B \end{eqnarray}$ Sooo und da hängts jetz.... gibts vielleicht einen Tipp?
03.12.2015, 00:10	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengengleichheit Nun, nimm ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass $\begin{eqnarray} x\in A \end{eqnarray}$ gilt (sonst spielst du den Beweis halt mit vertauschten Rollen durch). Du weißt also, dass x in A liegt. Liegt x auch in B? Da kannst du zwei Fälle unterscheiden, die dich dann zum Ziel führen Lg kgV
03.12.2015, 10:50	Dr. Inkognito	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengengleichheit Aha, verstehe, danke ^^ Also so z.B.? Sei $\begin{eqnarray} x \in A \end{eqnarray}$ Fall 1: $\begin{eqnarray} x \notin B \end{eqnarray}$ Dann $\begin{eqnarray} x \in A \wedge x \notin B \end{eqnarray}$ Also hier hänge ich dann quasi mehrere Oderverknüpfungen dran, weil ich weiß, dass wenn das ursprüngliche gilt, dann gilt auch "das Ursprüngliche oder was anderes" $\begin{eqnarray} \Rightarrow (x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B \wedge x\notin A) \vee (x \in A \vee x x\in B) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x \in (A \backslash B) \vee x \in (B \backslash A) \vee x \in (A \cap B) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x \in ((A \backslash B) \cup (B \backslash A) \cup (A \cap B)) \end{eqnarray}$ Und dann den anderen Fall halt mit x in B? Könnte ich dann die anderen zwei Fälle aus der Sicht von x in B echt komplett weglassen?
03.12.2015, 11:00	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengengleichheit Was du gerechnet hast, ist direkt der Beweis ohne meine Annahme für x aus A - ist aber auch korrekt Hab die Reihung ein bisschen umsortiert, damit man deine Argumentation besser sieht, aber ansonsten passt das wunderbar (Fälle unterscheidest du indirekt in Zeile 2) $\begin{eqnarray} x\in A\cup B\Rightarrow x\in A\vee x\in B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow (x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \in A \vee x\in B) \vee (x \in B \wedge x\notin A) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x \in (A \backslash B) \vee x \in (A \cap B) \vee x \in (B \backslash A) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x \in ((A \backslash B) \cup (B \backslash A) \cup (A \cap B)) \end{eqnarray}$
03.12.2015, 11:18	Dr. Inkognito	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengengleichheit Achso, verstehe, dankeschön
03.12.2015, 11:45	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengengleichheit Gern geschehen
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