Suche nach den drei möglichen Lösungen der Gleichung a^3=1

02.12.2015, 22:41

Yakeöwü

Suche nach den drei möglichen Lösungen der Gleichung a^3=1

Meine Frage:
Eine Gleichung dritten Grades hat drei Lösungen.
Die Gleichung a^3=1 hat in der Menge der reellen Zahlen nur eine Lösung.
Die beiden anderen Lösungen könnten komplexer Art sein.
Ansatz: (a-1)*(a-i)*(a-j)=0
Reicht zur Lösung die Gauss'sche Zahlenebene aus? (i=j)
Multipliziert man aus:
a^3-a^2-a^2i-a^2j+aij+ai+aj-ij=0

Meine Ideen:
Lösung 1: a=1 a^3=1
Realteil=1, Imaginärteil1=0, Imaginärteil2=0
Lösung 2:
Realteil=0,5, Imaginärteil1=3^(1/2)/6, Imaginärteil2=2^(1/2)/3^(1/2)
Polarkoordinaten dazu: Abstand zum Nullpunkt=1, Winkel zur Y-Achse=30°,
Winkel zur Z-Achse=60°
Lösung 3:
Realteil=0,5, Imaginärteil1=tan54°/2, Imaginärteil2=0,5
Polarkoordinaten: Abstand zum Nullpunkt=1, Winkel zur Y-Achse=54°,
Winkel zur Z-Achse=45°

Wie sieht dieses mit der Hochschulmathematik betrachtet aus?

03.12.2015, 01:02

Nubler

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was meinst du mit 2 Imaginärteilen?

03.12.2015, 04:05

Dopap

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ja, die komplexen Zahlen genügen. Die drei Einheitswuzeln sind

$\begin{align*} a_{0,1,2}=\exp(i \tfrac {2\pi}{3}k) \quad k=0,1,2 \end{align*}$

Es gibt noch die Quaternionen als Zahlbereichserweiterung. Diese enthalten imaginäre Einheiten: i,j,k

meintest du mit i,j etwas in diese Richtung ?
----------------------------------------------------------

EDIT: nur so zur Info:

eine der beliebig vielen Lösungen von $\begin{align*} a^3=1 \end{align*}$ wäre:

$\begin{align*} a= -\frac 12 +\frac {\sqrt 3}{4}\cdot i+\frac {\sqrt 3}{4}\cdot j+\frac {\sqrt 6}{4}\cdot k \in \mathbb H \end{align*}$ Wink

03.12.2015, 17:06

Yakeöwü

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Vielen Dank für Deine Antwort und Grüße in den Aalener-Raum.

Habe ich es richtig verstanden, im Zahlenraum der Quaternionen gibt es beliebig viele
Lösungen der Gleichung a^3=1.

Weshalb brauche ich einen Zahlenraum mit drei Imaginärteilen i,j,k und einem Realteil,
um eine Gleichung dritten Grades zu bearbeiten?

Woran scheitert der Versuch einen Zahlenraum mit zwei Imaginärteilen und einem Realteil
zu definieren um damit die obige Gleichung zu bearbeiten?
Vorteil: In diesem Zahlenraum wären nur drei Lösungen möglich.

Mein Bildungsstand: Abi und 2,5 Semester FH-Aalen. (1988)

03.12.2015, 19:57

Dopap

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Zitat:

Original von Yakeöwü
Vielen Dank für Deine Antwort und Grüße in den Aalener-Raum.

Habe ich es richtig verstanden, im Zahlenraum der Quaternionen gibt es beliebig viele
Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} a^3=1 \end{eqnarray*}$

ja.
Wie ich es verstanden habe, muss die Quaternion $\begin{eqnarray*} a=(a_0+ w ) \end{eqnarray*}$ mit der reinen Quaternion $\begin{eqnarray*} w= bi+cj+dk \end{eqnarray*}$
derart sein, dass $\begin{eqnarray*} w^2=-1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b^2+c^2+d^2=1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Dann gilt der Satz von de Moivre:

$\begin{eqnarray*} a^3=(\cos(\varphi) +w \sin(\varphi))^3=(\cos (3\varphi)+w \sin(3\varphi)) \end{eqnarray*}$

Es gibt aber beliebig viele Möglichkeiten für $\begin{eqnarray*} w^2=-1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Weshalb brauche ich einen Zahlenraum mit drei Imaginärteilen i,j,k und einem Realteil,
um eine Gleichung dritten Grades zu bearbeiten?

braucht man nicht , komplexe Zahlen genügen.

Zitat:

Woran scheitert der Versuch einen Zahlenraum mit zwei Imaginärteilen und einem Realteil
zu definieren um damit die obige Gleichung zu bearbeiten?
Vorteil: In diesem Zahlenraum wären nur drei Lösungen möglich.

Ich glaube das liegt daran, dass man damit keinen ( Zahlen-) Körper bilden könnte .

Die Quaternionen sind wenigsten ein nichtkommutativer Körper= Schiefkörper.

So, genug! Ende Fahnenstange. Ich bin kein Algebraiker böse

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