Dirac-Funktion zweifach integrieren

03.12.2015, 11:22	Sardinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Dirac-Funktion zweifach integrieren Meine Frage: Hallo zusammen! Ich muss folgendes Problem lösen: $\begin{eqnarray} -c^{2}\frac{d^{2}u}{dt^{2}} =F(t)dirac(x_{F}) \end{eqnarray}$ F(t) ist in meinem Fall ein konstanter Wert F, x ist ein 1000x1 Vektor und $\begin{eqnarray} x_{F}) \end{eqnarray}$ ist die Stelle 200. Die Randbedingungen sind: u(x=0)=0 und u(x=L)=0 Meine Ideen: Soweit ich weiß ist das Integral von $\begin{eqnarray} Fdirac(x_{F}) \end{eqnarray}$ nach dx gleich $\begin{eqnarray} F(x_{F}) \end{eqnarray}$ , also einfach F. Damit hätte ich nach dem ersten Mal integrieren $\begin{eqnarray} \frac{du}{dt} =-\frac{F}{c^{2}}+k_{1} \end{eqnarray}$ Wenn ich nun nochmals integriere erhalte ich $\begin{eqnarray} \frac{du}{dt} =-\frac{F}{c^{2}}+k_{1} \end{eqnarray}$ Wenn ich die Randbedingungen für k1 und k2 verwende, erhalte ich für k2=0 und k1= $\begin{eqnarray} \frac{F}{c^{2}} \end{eqnarray}$ Damit ergibt sich schließlich $\begin{eqnarray} u=-\frac{F}{c^{2}} +\frac{F}{c^{2}} \end{eqnarray*}$ , also u=0 Könnte mir jemand sagen, was ich falsch gemacht habe? Ich bin mir relativ sicher, dass ich u=0 nicht das richtige Ergebnis ist... Vielen Dank schonmal im Voraus!
03.12.2015, 14:09	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es handelt sich um das Problem einer eingespannten Saite, welche zwischen den Punkten x=0 und x=L fest eingespannt ist (=Randbedingung). Am Punkt x=200 greift an der Saite eine lokale Kraft F an. An dieser Stelle hat die Saite also einen "Knick" (als wenn man ein Gewicht an eine gespannte Wäscheleine anhängt.) Weil die Kraft lokal wirkt, nimmt die Saite die Form einer "geknickten Geraden" an. Man hat also aus mathematischer Sicht 2 Geraden. Der Ansatz für beide Geraden lautet demnach $\begin{eqnarray} y=m_1x+n_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=m_2x+n_2 \end{eqnarray}$ Nun muss man $\begin{eqnarray} m_1, m_2, n_1, n_2 \end{eqnarray}$ so wählen, dass die Randbedingungen erfüllt sind. Das führt auf die beiden Geraden $\begin{eqnarray} y=m_1x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=m_2\cdot (x-L) \end{eqnarray}$ Setze zur Probe in die 1.Gerade x=0 ein und in die 2.Gerade x=L. Offenbar sind in beiden Fällen die Randbedingungen erfüllt. Nun muss man dafür sorgen, dass beide Geraden an der Stelle x=200 stetig ineinander übergehen (Die Saite soll ja nicht reißen an der Stelle, wo die Kraft wirkt!). Die Stetigkeitsforderung lautet also $\begin{eqnarray} 200m_1=m_2\cdot (200-L) \end{eqnarray}$ Das führt auf $\begin{eqnarray} m_2=\tfrac{200m_1}{200-L} \end{eqnarray}$ . Einsetzen in die obigen Geraden liefert $\begin{eqnarray} y=m_1x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=\tfrac{200m_1}{200-L}\cdot (x-L) \end{eqnarray}$ Setze mal zur Probe in beiden Geraden das Argument x=200 ein. Dann wird klar, dass beide Gerade dort wie gewünscht stetig sind. Wir müssen noch den unbekannten Parameter $\begin{eqnarray} m_1 \end{eqnarray}$ in beiden Geraden bestimmen. Dazu benutzen wir die gegebene Differenzialgleichung $\begin{eqnarray} c^2y''=-F\cdot \delta (x-200) \end{eqnarray}$ Diese Gleichung integrieren wir in der Nähe des Knickes im kleinen Intervall $\begin{eqnarray} [200-\epsilon;200+\epsilon] \end{eqnarray}$ .Das liefert $\begin{eqnarray} \underbrace{y'(200+\epsilon)}_{\text{Anstige der rechten Geraden}}-\underbrace{y'(200-\epsilon)}_{\text{Anstieg der linken Geraden}}=-\tfrac{F}{c^1} \end{eqnarray}$ Diese Gleichung besagt, dass die Differenz der Anstige der beiden Gerade gerade den Wert $\begin{eqnarray} -\tfrac{F}{c^2} \end{eqnarray}$ haben muss. Damit kann man den noch unbekannten Parameter $\begin{eqnarray} m_1 \end{eqnarray}$ bestimmen. Anschaulich ist klar, dass Winkel des Knickes der Saite um so spitzer wird, je größer die Kraft ist. Rechne das mal aus und setze dann $\begin{eqnarray} m_1 \end{eqnarray}$ in die 2 Geradengleichungen ein.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »