Limes Inferior,superior und Infimum,Supremum

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03.12.2015, 16:59	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Limes Inferior,superior und Infimum,Supremum Hallo alle, habe folgende Folge: $\begin{eqnarray} \left\{a_n\right\}=(-1)^n+\frac{1}{n-1} \end{eqnarray}$ Für das Supremum setze ich n = 2 und komme dann auf 1+1=2 Wäre also Supremum = 2 Limes Superior wäre ja dann 1 oder? Infimum habe ich -1 und zu limes Inferior habe ich eine Frage, der ist ja so definiert: $\begin{eqnarray} \lim\inf {a_n}=\sup\inf{a_k} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k\geq n \end{eqnarray}$ Was ist denn jetzt mein limes inferior? da blicke ich nicht ganz durch.. auch -1? danke!
04.12.2015, 20:56	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Limes Inferior,superior und Infimum,Supremum Ja, das Supremum ist 2, der limes superior ist 1, das infimum hast du mir -1 auch korrekt bestimmt. Der limes inferior ist auch -1, ja. Aber die Begründung scheint nicht ganz klar zu sein? Kennt ihr schon die Charakterisierung, dass limsup bzw liminf der größte bzw kleinste Häufungspunkt einer Folge sind? Lg kgV
04.12.2015, 21:22	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Ja, den kennen wir. Aber ich hab irgendwie noch nicht so ganz verstanden, was ein Häufungspunkt ist. Wir haben das so definiert, dass das Supremum einer Teilfolge ein Häufungspunkt ist. Ich habe da so eine Aufgabe, bei der ich eine Folge finden muss: und zwar: $\begin{eqnarray} +\infty>\sup A>\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sup{a_n}>\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\inf{a_n}>\inf A>-\infty \end{eqnarray}$ und ich habe schon ungefähr 1 Milliarde Folgen ausprobiert, aber wie du siehst, ist die Bedingung auch für die obige nicht erfüllt.. Gibt es da einen Trick? Danke dir!
04.12.2015, 21:31	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Häufungspunkt ist ein Punkt, an den die Folge immer wieder beliebig nahe rankommt, in Formeln $\begin{eqnarray} \forall\varepsilon>0\forall n\in\mathbb N\exists m>n \|a_m-c\|<\varepsilon \end{eqnarray}$ Bei deinem Beispiel meint $\begin{eqnarray} A=a_n \end{eqnarray}$ oder?
04.12.2015, 21:36	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau, sorry, habe ich vergessen hinzuschreiben. okay. Das heißt in der Folge oben habe ich -1, 1,2 als Häufungspunkte oder noch mehr?
04.12.2015, 21:50	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, 2 ist kein Häufungspunkt - davon ist die Folge nach den ersten paar Gliedern ziemlich weit weg Nun, deine Folge erfüllt ja schon ein paar der Kriterien, die in deinem Post gefordert sind - du könntest ja einfach vorn ein Glied dranhängen, das dir das Infimum nach unten drückt
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04.12.2015, 22:09	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Ginge zum Beispiel $\begin{eqnarray} -2+(-1)^n\cdot \frac{1}{n-1} \end{eqnarray}$ Und da wäre -2 ein Häufungspunkt oder?
04.12.2015, 22:21	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, in diesem Fall stimmen limsup und liminf überein, weil die Folge konvergent ist (natürlich ist -2 dann auch ein Häufungspunkt, ja). Ich hätte eher an etwas wie $\begin{eqnarray} (-1)^n+(-1)^n\frac1{n+1} \end{eqnarray}$ gedacht, oder einfach deiner obigen Folge eine -2 als erstes Folgeglied vorangestellt
04.12.2015, 22:29	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
also, das ich es richtig verstehe. limsup ist doch immer das kleinste supremum oder? Also in dem Fall 2. Sup wäre 2 1/3 lim inf ist das größte Infimum Also -1,5 und inf wäre -1 oder? und was meinst du mit -2 vorangestellt?
04.12.2015, 22:40	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt kein "kleinstes" Supremum - das Supremum ist immer eindeutig bestimmt, insbesondere gibt es nur eines - da interpretierst du zu viel in das Infimum über die Suprema hinein. Der limsup ist der größte Häufungspunkt, also der größte punkt, bei dem die Folge immer weider vorbeischaut (wenn ich mich mal so ausdrücken darf). Der liminf ist entsprechend der kleinste solche Punkt. Demnach ist limsup hier auch nicht 2, ebenso wenig wie der liminf -1,5 ist das Supremum ist auch nicht 2 1/3, sondern nur 2, größer wird die Folge nie. mit -2 voranstellen meine ich einfach ein neues erstes Folgeglied definieren und die alte Folge dahinter dranhängen
04.12.2015, 22:55	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. neuer Versuch Supremum ist 2, weil das das größte Element der Folge ist. LimSup ist 1, weil für große n fällt der rechte Teil weg. Lim Inf ist -1, weil für große n der rechte Teil wegfällt und dann -1 übrig bleibt. inf ist -1,5 ist das richtig? bei voranstellen meinst du: $\begin{eqnarray} a_1=-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n+1}=(-1)^n+\frac{1}{n-1} \end{eqnarray}$ oder? und da wäre dann: $\begin{eqnarray} \sup=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim\sup=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim\inf=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \inf=-2 \end{eqnarray}$
04.12.2015, 23:02	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt passen die Werte, ja und ja, so in etwa meine ich es, es muss nur $\begin{eqnarray} a_n=(-1)^{n-1}+\frac1{n-2} \end{eqnarray}$ heißen, mit $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ (das ist die um 1 nach links verschobene Folge), weil n ja durch das neue erste Glied um 1 größer ist Und auch hier stimmen die Werte jetzt
04.12.2015, 23:04	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ja, klar Sehr gut. Ich danke dir mal wieder Jetzt habe ich das auch mal verstanden Gute Nacht. Bis zum nächsten mal
04.12.2015, 23:05	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen Gute Nacht. Bis denn

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