Matrix Annihilator Untervektorraum

03.12.2015, 20:05	Desogude	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix Annihilator Untervektorraum Habe hier eine Aufgabe und Lösung, falls das jemand begutachten könnte wäre ich dankbar. Sei $\begin{eqnarray} A \in Mat(n \times n, K) \end{eqnarray}$ eine n x n Matrix. Es wird der (Links-) Annihilator definiert durch $\begin{eqnarray} Ann(A):= \left\{X \in Mat(n \times n, K) \| XA = 0\right\} \subset Mat(n \times x, K) \end{eqnarray}$ a) Zeigen Sie, dass Ann(A) ein Untervektorraum ist. b) Finden sie zwei linear unabhängige Elemente B,C in $\begin{eqnarray} Ann(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ c) Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} Ann(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \langle B,C \rangle \end{eqnarray}$ Meine Lösung: a) Untervektorraumaxiome prüfen: i) Nullmatrix ist Element von Mat, sodass $\begin{eqnarray} Mat \neq \emptyset \end{eqnarray}$ ii) Seien X,Y Element von Mat $\begin{eqnarray} (X+Y)(A) = (XA) + (YA) = 0 + 0 = 0 \end{eqnarray}$ iii) sei $\begin{eqnarray} \alpha \in K \ und \ X \in Mat \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\alpha X)(A) = \alpha (XA) = \alpha 0 = 0 \end{eqnarray}$ b) Ich suche als erstes eine Matrix die XA = 0 erfüllt und komme so auf 4 Gleichungen mit $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} und \ X = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ komme so auf 4 gleichungen $\begin{eqnarray} x_1 \cdot 0 + x_2 \cdot 0 = 0\\x_1 \cdot 0 + x_2 \cdot 0 = 0\\y_1 \cdot 1 + y_2 \cdot 0 = 0\\y_1 \cdot 0 + y_2 \cdot 0 = 0 \end{eqnarray}$ daraus folgere ich, dass $\begin{eqnarray} x_1 = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_1 = 0 \end{eqnarray}$ sein müssen und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ beliebig in K also bekomme ich $\begin{eqnarray} X= \begin{pmatrix} 0 & x_1 \\ 0 & y_2 \end{pmatrix} mit \ x_1 \ und y_1 \ beliebig in K \end{eqnarray}$ Nun brauche ich zwei von diesem Typ welche linear unabhängig sind. $\begin{eqnarray} \alpha B + \beta C = 0 \end{eqnarray}$ und komme wieder auf vier Gleichungen die nur trivial gelöst werden dürfen $\begin{eqnarray} (1) \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0 = 0 \\(2) \alpha b_2 + \beta c_2 = 0 \\(3) \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0 = 0\\(4) \alpha \cdot b_4 + \beta \cdot c_4 = 0 \end{eqnarray}$ und folgere daraus, dass $\begin{eqnarray} b_2 b_4 \ und \ c_2 \ und \ c_4 \end{eqnarray}$ nicht null sein dürfen c) und hier stelle ich eine allg Matrix auf die sich aus B und C konstruieren lässt also $\begin{eqnarray} \alpha \begin{pmatrix} 0 & b_2 \\ 0 & b_4 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 & c_2 \\ 0 & c_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \alpha b_2 + \beta c_2 \\ 0 & \alpha b_4+\beta c_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha \beta \in K \end{eqnarray}$ Ist diese Lösung einigermaßen passabel ? Wo kann ich noch was verbessern? Danke für Hinweise.
07.12.2015, 13:27	MeMeansMe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix Annihilator Untervektorraum Hey, ich hoffe, du kannst noch was mit der Antwort anfangen. Zu a) Deine Argumentation stimmt, nur solltest du $\begin{eqnarray} \text{Mat} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \text{Ann} \end{eqnarray}$ ersetzen (Tippfehler). Zu b) Du kannst die beiden Matrizen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ einfach mal multiplizieren, dann kommst du nämlich auf: $\begin{eqnarray} X\cdot A = \left(\begin{array}{cc}x_1 & 0 \\ y_1 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ Dann siehst du sofort, dass $\begin{eqnarray} x_1=y_1=0 \end{eqnarray}$ gelten muss. Stimmt also auch. Als nächsten Schritt sollst du konkrete Matrizen $\begin{eqnarray} B,C \in \text{Ann}\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ finden. Du machst es noch mit allgemeinen. Dass diese Matrizen die Form $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cc}0 & x_2 \\ 0 & y_2 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ haben, ist korrekt, nur jetzt versuche, durch eine/mehrere gute Wahlen von $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ zwei unabhängige Matrizen zu kreieren. Zu c) Wenn du $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ gewählt hast, kannst du deine Gleichung aus Aufgabe c) benutzen, um zu zeigen, dass die beiden Matrizen den Raum aufspannen. Du hast also an sich richtig argumentiert, nur die konkreten Matrizen fehlen dir noch.
08.12.2015, 13:59	Desogude	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort. Habe heute ähnliches Feedback von meinem Übungsleiter bekommen. Werde nun für b) und c) konkrete Matrizen einsetzen.

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