Summe von Beleuchtungsstärken

04.12.2015, 01:08

Dopap

Summe von Beleuchtungsstärken

Eine Allee wird im Abstand von je 10m in einer Höhe von 10m von Lampen erhellt , die einzeln eine senkrechte Beleuchtungsstärke von je 100Lux am Boden erzeugen und homogen leuchten.

Welche Beleuchtungsstärke entsteht am Anfang der Allee, wenn n Lampen brennen ? Gibt es einen Grenzwert ?

Meine Ideen:

1. $\begin{eqnarray*} B_0=100 \end{eqnarray*}$

2.) Die Beleuchtungsstärke nimmt mit dem Quadrat der Entfernung und dem Cosinus des Einfallswinkel ab.

$\begin{eqnarray*} B_1=100\frac{10^2}{10^2+10^2}\cdot \frac{10}{\sqrt{10^2+10^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_2=100\,\frac{10^2}{20^2+10^2}\cdot \frac{10}{\sqrt{20^2+10^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_2=100\,\frac{1}{2^2+1^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2^2+1^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_2=100\,\frac{1}{(2^2+1)^{\tfrac 32}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_k=100\,\frac{1}{(k^2+1)^{\tfrac 32}} \quad k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} B(n)= B_0\sum_{k=0}^n \frac{1}{(k^2+1)^{\tfrac 32}} \end{eqnarray*}$

die $\begin{eqnarray*} B_k \end{eqnarray*}$ bilden sicher eine Nullfolge.

aber, was ist mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} B(n) \end{eqnarray*}$ verwirrt

04.12.2015, 08:54

klarsoweit

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RE: Summe von Beleuchtungsstärken

Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} B(n)= B_0\sum_{k=0}^n \frac{1}{(k^2+1)^{\tfrac 32}} \end{eqnarray*}$

Man kann relativ leicht zeigen, daß diese Reihe konvergiert. smile

04.12.2015, 18:27

Dopap

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ja, rein physikalisch ist das schon klar.

Ich habe noch das Quotientenkriterium im Hinterkopf. Da müsste doch der Quotient
von aufeinanderfolgenden Gliedern konstant keiner 1 sein. Oder gibt es was besseres ?

04.12.2015, 18:53

HAL 9000

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Die wirklich "interessanten" (=schwierigen) Reihen lassen sich per Quotienten- oder Wurzelkriterium meist nicht entscheiden, weil das da 1 liefert - so auch hier. In dem Fall hilft dann oft Majoranten- bzw. Minorantenkriterium unter Zuhilfenahme bekannter Vergleichsreihen, wie etwa

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} k^{\alpha} ~ \begin{cases} \mbox{konvergent} & \;\mbox{für}\; \alpha<-1 \\ \mbox{divergent} & \;\mbox{für}\; \alpha\geq -1 \end{cases} \end{align*}$ ,

hier bei dir natürlich $\begin{align*} \alpha=-3 \end{align*}$ .

04.12.2015, 21:13

Dopap

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also:

es geht damit darum, dass $\begin{eqnarray*} a_k = \frac {1}{\sqrt{k^2+1}} < k \end{eqnarray*}$ gilt.

k ist Majorante zu $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und der Exponent -3 macht dann alles klar. oder ?

04.12.2015, 21:18

HAL 9000

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Ich kann dir nicht folgen. Denn eigentlich geht es hier doch um $\begin{align*} a_k = \frac{1}{\left(k^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} < \frac{1}{\left(k^2\right)^{\frac{3}{2}}} = k^{-3} \end{align*}$ für $\begin{align*} k\geq 1 \end{align*}$ . verwirrt

04.12.2015, 21:39

Dopap

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wenn man es $\begin{eqnarray*} \boxed{so} \end{eqnarray*}$ hinschreibt ist es sonnenklar.

Folgen und Reihen waren eben noch nie meine Freunde. Augenzwinkern

05.12.2015, 18:15

Dopap

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RE: Summe von Beleuchtungsstärken
Der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum_{k=0}^n \frac{1}{(k^2+1)^{\tfrac 32}} \end{eqnarray*}$ liegt etwa bei 1.51243.

Kann man eine möglichst kleine obere Schranke angeben ?

05.12.2015, 18:20

HAL 9000

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Es ist $\begin{align*} \frac{1}{(k^2+1)^{\frac{3}{2}}} < \frac{1}{k(k^2-1)} = \frac{1}{2(k-1)k} - \frac{1}{2k(k+1)} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k\geq 2 \end{align*}$

Damit gilt per Teleskopsummenabschätzung

$\begin{align*} \sum_{k=0}^n \frac{1}{(k^2+1)^{\frac{3}{2}}} < \sum_{k=0}^m \frac{1}{(k^2+1)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2m(m+1)} - \frac{1}{2n(n+1)} \end{align*}$ für $\begin{align*} n>m\geq 1 \end{align*}$

und im Grenzwert $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ dann

$\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k^2+1)^{\frac{3}{2}}} < \sum_{k=0}^m \frac{1}{(k^2+1)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2m(m+1)} \end{align*}$ für $\begin{align*} m\geq 1 \end{align*}$ .

Je größer du $\begin{align*} m \end{align*}$ wählst, desto besser wird die obere Schranke rechts.

05.12.2015, 18:34

Dopap

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sehr gepflegt Freude

...und auch ein Danke für die Mühe!

05.12.2015, 18:44

HAL 9000

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Mit der gleichen "Technik" bekommt man auch eine bessere untere Schranke für den Grenzwert, als dies der einfache Abbruch $\begin{align*} \sum_{k=0}^m \frac{1}{(k^2+1)^{\frac{3}{2}}} \end{align*}$ ist, nämlich

$\begin{align*} \sum_{k=0}^m \frac{1}{(k^2+1)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2(m+1)(m+2)} \end{align*}$ ,

basierend auf $\begin{align*} \frac{1}{(k^2+1)^{\frac{3}{2}}} > \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2k(k+1)} - \frac{1}{2(k+1)(k+2)} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k\geq 1 \end{align*}$ .

08.12.2015, 22:11

Dopap

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mit den ursprünglichen Angaben ergibt sich für m=100:

obere Schranke = 151.2435 lux
untere Schranke = 151.2434 lux.

der Abbruchwert ist dagegen = 151.2385 lux !

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