Beweis Grenzwert nte Wurzel n

04.12.2015, 12:40

DQQpy

Beweis Grenzwert nte Wurzel n

Morgen,

komme momentan bei einem Beweis nicht weiter...
Es geht darum zu beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ .
Dazu haben wir eine Folge $\begin{eqnarray*} b_{n} := \sqrt[n]{n} - 1 \end{eqnarray*}$ definiert, die dann eine Nullfolge sein müsste. Weiter ging es dann so:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n = (1+b_n)^n \geq 1+n \cdot b_n (Bernoulli) \\<br /> \Leftrightarrow b_n \leq \frac{n-1}{n} = 1- \frac{1}{n} \Rightarrow b_n -1 \leq - \frac{1} {n} \\<br /> \Leftrightarrow 1-b_n \geq \frac1 n \end{eqnarray*}$

Damit waren wir fertig, nur wo sieht man jetzt dass bn eine Nullfolge ist bzw. dass die nte Wurzel aus n den Grenzwert 1 besitzt?

Grüße

Philipp

04.12.2015, 13:28

klarsoweit

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RE: Beweis Grenzwert nte Wurzel n

Zitat:

Original von DQQpy
Dazu haben wir eine Folge $\begin{eqnarray*} b_{n} := \sqrt[n]{n} - 1 \end{eqnarray*}$ definiert, die dann eine Nullfolge sein müsste. Weiter ging es dann so:

Ich weiß ja nicht, wer "wir" ist, aber meines Erachtens geht es so nicht.

Ich würde es mit $\begin{eqnarray*} b_{n} := \sqrt[n]{\sqrt n} - 1 \end{eqnarray*}$ versuchen. Augenzwinkern

b_n >= 1 ist klar. Der Rest geht analog deiner Rechnung.

EDIT: es sollte heißen "b_n >= 0". Sorry.

04.12.2015, 14:10

DQQpy

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RE: Beweis Grenzwert nte Wurzel n
"Wir" ist der Professor unserer Übung an der Uni Augenzwinkern

Zitat:

Ich würde es mit $\begin{eqnarray*} b_{n} := \sqrt[n]{\sqrt n} - 1 \end{eqnarray*}$ versuchen.

Warum ist denn diese Folge besser? Wenn ich die analogen Rechenschritte durchführe komme ich auf

$\begin{eqnarray*} b_n := \sqrt[2n]{n}-1 \\<br /> \Leftrightarrow n=(1+b_n)^{2n} \geq 1+2nb_n \\<br /> \Leftrightarrow b_n \leq \frac {n-1}{2n}=\frac 1 2 - \frac 1 n \end{eqnarray*}$
Und daran kann ich irgendwie immer noch nichts erkennen, ich weiß auch nicht warum b_n>=1 klar ist... Hammer

04.12.2015, 14:20

HAL 9000

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RE: Beweis Grenzwert nte Wurzel n
Es geht wohl eher um $\begin{align*} \sqrt{n} = (1+b_n)^n \geq 1+nb_n \end{align*}$ usw.

04.12.2015, 14:39

DQQpy

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$\begin{eqnarray*} b_n \leq \frac{\sqrt{n}-1}{n} = \frac{n-1}{n\sqrt{n}+n} = \frac{1-\frac 1 n}{\sqrt n +1} \end{eqnarray*}$
So?

Aber damit hätte ich doch nur gezeigt, dass b_n->1, d.h. $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\sqrt n} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ soll doch gegen 1 gehen?

04.12.2015, 14:43

HAL 9000

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Ja, so etwa. Ich würde aber eher gleich weiter nach oben abschätzen

$\begin{align*} b_n \leq \frac{\sqrt{n}-1}{n} < \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \end{align*}$ ,

egal - Hauptsache man erkennt dann die Nullfolge.

04.12.2015, 14:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von DQQpy
Aber damit hätte ich doch nur gezeigt, dass b_n->1, d.h. $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\sqrt n} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ soll doch gegen 1 gehen?

Nun ja, wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\sqrt n} \end{eqnarray*}$ gegen 1 geht, dann auch das Quadrat davon. Außerdem geht b_n gegen Null. Augenzwinkern

Und schönen Gruß an den Professor von einem alten Diplom-Mathematiker. Big Laugh

04.12.2015, 15:02

DQQpy

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Zitat:

Original von klarsoweit
Außerdem geht b_n gegen Null. Augenzwinkern

Ja ist mir auch gerade aufgefallen Augenzwinkern

Zitat:

Original von klarsoweit
Nun ja, wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\sqrt n} \end{eqnarray*}$ gegen 1 geht, dann auch das Quadrat davon.

Ahhh, okay jetzt hab ichs Freude

Das b_n >= 1 hatte mich zuerst auch noch verwirrt.
Vielen Dank euch!

Aber macht der Ansatz meines Proffs wirklich gar keinen Sinn? Wundert mich schon... Big Laugh

04.12.2015, 15:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von DQQpy
Das b_n >= 1 hatte mich zuerst auch noch verwirrt.

Sorry, blöder Tippfehler. Hammer

Zitat:

Original von DQQpy
Aber macht der Ansatz meines Proffs wirklich gar keinen Sinn? Wundert mich schon... Big Laugh

Also ich sehe nicht, daß der Ansatz funktioniert. Wenn doch, würde ich das gerne mal sehen. Augenzwinkern

04.12.2015, 15:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von DQQpy
Aber macht der Ansatz meines Proffs wirklich gar keinen Sinn?

Die daraus gewonnene Aussage $\begin{align*} b_n \leq 1-\frac{1}{n} \end{align*}$ ist zwar richtig, aber eben viel zu wenig im Hinblick auf das Ziel Grenzwertberechnung.

Eine alternative Möglichkeit statt Bernoulli wäre der Binomische Satz, indem man für $\begin{align*} b_n=\sqrt[n]{n}-1 \end{align*}$ und $\begin{align*} n\geq 2 \end{align*}$ abschätzt

$\begin{align*} n = (1+b_n)^n \geq 1 + \binom{n}{2}b_n^2 \end{align*}$ , umgestellt $\begin{align*} b_n^2 \leq \frac{n-1}{\binom{n}{2}} = \frac{2}{n} \end{align*}$ .

04.12.2015, 15:24

Matt Eagle

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Zitat:

Original von DQQpy
Aber macht der Ansatz meines Proffs wirklich gar keinen Sinn? Wundert mich schon... Big Laugh

Doch der macht grundsätzlich schon Sinn.
Allerdings ist die Bernoullische Ungleichung hier unzureichend.
Ganz egal wie er da auch umformt, aus $\begin{eqnarray*} b_n\leq\frac{n-1}n \end{eqnarray*}$ allein wird niemals folgen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}b_n=0. \end{eqnarray*}$

Mit dem binomischen Lehrsatz könnte man sich hier eine geeignete Abschätzung herleiten.
Etwa so:

$\begin{eqnarray*} n=(1+b_n)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}b_n^k\geq \frac {n(n-1)}2 b_n^2. \end{eqnarray*}$

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