Gleichungen mit Matrizen lösen

04.12.2015, 14:29

Kiche

Gleichungen mit Matrizen lösen

Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
1. A soll eine 2x4 Matrix sein und $\begin{eqnarray*} \vec{x} \in C^{2} \end{eqnarray*}$
a)
$\begin{eqnarray*} 4\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ \end{pmatrix} - 3A= \begin{pmatrix} -1 & 4 & \\ 0 & 4 & \\ -1 & 6 & \\-1 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
b)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 5 &6 \end{pmatrix} *\vec{x} = \begin{pmatrix} i \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also zu a) wäre das mein Weg:
$\begin{eqnarray*} 4\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ \end{pmatrix} - 3A= \begin{pmatrix} -1 & 4 & \\ 0 & 4 & \\ -1 & 6 & \\-1 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \begin{pmatrix} 4& 8 & 12 & 16 \\ 20 & 24 & 28 & 32 \end{pmatrix} - 3A = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 4 \\ -1 & 6 \\ -1 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 & 16\\ 20 & 24 & 28 & 32 \end{pmatrix} - 3A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 & -1 \\ 4 & 4 & 6 & 8\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow - 3A= \begin{pmatrix} 5 & 8 & 13 & 17 \\ 16 & 20 & 22 & 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A= \begin{pmatrix} \frac{-5}{3} & \frac{-8}{3} & \frac{-13}{3} & \frac{-17}{3} \\ \frac{-16}{3} & \frac{-20}{3} & \frac{-22}{3} & \frac{-24}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?
bei b) weiß ich nicht so genaus wie ich das machen muss...
Danke schonmal!

04.12.2015, 15:08

klarsoweit

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RE: Gleichungen mit Matrizen lösen

Zitat:

Original von Kiche
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \begin{pmatrix} 4& 8 & 12 & 16 \\ 20 & 24 & 28 & 32 \end{pmatrix} - 3A = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 4 \\ -1 & 6 \\ -1 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 & 16\\ 20 & 24 & 28 & 32 \end{pmatrix} - 3A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 & -1 \\ 4 & 4 & 6 & 8\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Entweder fehlt an der Aufgabe etwas oder sie ist falsch gestellt. Jedenfalls kannst du auf der rechten Seite nicht einfach transponieren. geschockt

Zitat:

Original von Kiche
bei b) weiß ich nicht so genaus wie ich das machen muss...

Das ist ein inhomogenes lineares Gleichungsystem. Wie man das löst, sollte dir bekannt sein.

04.12.2015, 16:24

Gast001133

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Vorbemerkung:
Wenn du:
$\begin{eqnarray*} A + B = C \end{eqnarray*}$ hast mit B unbekannt. schau dir die Dimensionen von A und C an. Wikipedia hat da ein schönes Bild unter "Matrizenaddition" oben rechts.
Die Dimensionen sind bei allen Matrizen gleich also A = m x n und B = m x n und C = m x n
Damit Weißt du wie groß B sein muss.

Wenn du:
$\begin{eqnarray*} A \times B = C \end{eqnarray*}$ hast mit B unbekannt. schau dir die Dimensionen von A und C an. Wikipedia hat da ein schönes Bild unter "Matrizenmultiplikation" oben rechts.
Die Dimensionen sind also A = l x m und B = m x n und C = l x n
Damit Weißt du wie groß B sein muss.

Für a)
Die erste Matrix ist 2x4, die Ergebnis Matrix 4x2
Laut Vorbemerkung... welche Dimension soll deine Gesuchte Matrix A haben? Du kannst eine Matrix nicht einfach transponieren. Das ist keine äquivalente Umformung.
Wenn deine Aufgabe wirklich so gestellt ist, wird vermutlich erwartet das du schreibst, dass es kein A geben kann damit die Gleichung erfüllt ist.

Außerdem ist mir unklar warum du bei -3A jedes Element der Matrix durch -3 rechnest? Schlag am besten nochmal die Skalarmultiplikation nach!

Für b)
In deinem Fall ist B als Vektor vorgegeben damit ist n immer = 1
also ist bei dir $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = 2x1
Also schreib das doch erstmal hin

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann steht da schonmal:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\5 & 6 \end {pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}i \\ -2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt ganz klassisch Matrizen multiplikation

$\begin{eqnarray*} 1*x_1+2*x_2 = i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5*x_1+6*x_2 = -2 \end{eqnarray*}$

Das Gleichungssystem lösen und fertig. =)

ps.:

Zitat:

Original von klarsoweit
Wie man das löst, sollte dir bekannt sein.

das ist nicht sehr hilfreich

04.12.2015, 18:06

Kiche

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Danke an klarsoweit und Gast001133.
Erstmal an klarsoweit: habe in der Aufgabe nachgesehen, da ist die Matrix auf der rechten Seite transformiert, geht das dann nicht das wieder zurückzutransformieren??

Und Gast001133: Kannst du mir bei a) noch einmal helfen? Ich schaue mir auf jeden fall noch mal skalarmultiplikation an, nur steh ich auf dem Schlauch, was ich tun soll auf dem Weg bis dahin.
Bei b) meintest du mit Gleichungssystem lösen wahrscheinlich nach den beiden x auflösen oder? Wenn ja dann wäre also die Lösung
$\begin{eqnarray*} x_{1}= -i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{2} = 2i \end{eqnarray*}$

Vielen Dank! =)

05.12.2015, 12:29

Gast001133

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Zitat:

Original von Kiche
Danke an klarsoweit und Gast001133.
Erstmal an klarsoweit: habe in der Aufgabe nachgesehen, da ist die Matrix auf der rechten Seite transformiert, geht das dann nicht das wieder zurückzutransformieren??

Und Gast001133: Kannst du mir bei a) noch einmal helfen? Ich schaue mir auf jeden fall noch mal skalarmultiplikation an, nur steh ich auf dem Schlauch, was ich tun soll auf dem Weg bis dahin.

Bitte schreib die Aufgabenstellung noch einmal vollständig ins Forum, damit wir nicht rumrätseln was damit gemeint ist.

Zitat:

Original von Kiche
Bei b) meintest du mit Gleichungssystem lösen wahrscheinlich nach den beiden x auflösen oder? Wenn ja dann wäre also die Lösung
$\begin{eqnarray*} x_{1}= -i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{2} = 2i \end{eqnarray*}$

Ja genau, so umstellen das die beiden Unbekannten nicht mehr von einander abhängig sind. Du kannst das entweder in einander einsetzen und Umstellen, oder du löst es mit einer Matrix. Bitte schreib mal deinen Rechenweg dazu auf. So das am ende
$\begin{eqnarray*} x_1 = ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = ... \end{eqnarray*}$
da steht.
Denn ich komme auf was anderes. Wenn du dir unsicher bist ob deine Lösung stimmt, setze dein Ergebnis in die Ausgangsgleichung ein. Ist die Ausgangsgleichung nicht erfüllt, ist dein Ergebnis falsch.

06.12.2015, 13:41

Kiche

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Soo hallo,
sorry das ich mich erst jetzt melde, war leider arbeiten.

Also einmal zu der Aufgabe 1b):
Da hab ich nachgerechnet und bin nun auf die Ergebnisse gekommen:
$\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{11}{6} i+\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}= \frac{-5}{12} i-\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Ich verzichte mal ausnahmsweise auf den Rechenweg, da ich mein Ergebnis in die Gleichung eingesetzt habe und das somit richtig sein sollte, hoff ich....

Also die Aufgabe a) lautete genau:
$\begin{eqnarray*} 4\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{pmatrix} - 3A= \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 0 & 4 \\ -1 & 6 \\-1 & 8 \end{pmatrix} ^{T} \end{eqnarray*}$

Hab mir da noch einmal Gedanken zu gemacht. Wenn in der Aufgabe die rechte Seite schon transformiert ist, kann die linke Seite ja auch problemlos transformiert werden oder? Das dann da steht:
$\begin{eqnarray*} 4\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}^{T} - 3A= \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 0 & 4 \\ -1 & 6 \\-1 & 8 \end{pmatrix} ^{T} \end{eqnarray*}$

Und dann irgendwie umformen, geht das?

07.12.2015, 09:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kiche
Wenn in der Aufgabe die rechte Seite schon transformiert ist, kann die linke Seite ja auch problemlos transformiert werden oder?

Nee, so geht das nicht. Du kannst nicht einfach eine Matrix transponieren, nur damit die Aufgabe paßt.

Du kannst aber in der Tat die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 0 & 4 \\ -1 & 6 \\-1 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ transponieren, da ja "oben" ein "T" dransteht.
Du kommst dann zu deiner Rechnung, wie du sie in deinem ersten Post gemacht hast. Allerdings sieht jetzt die Matrix an einer Stelle anders aus. Augenzwinkern

08.12.2015, 13:23

Kiche

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Nur um nochmal bescheid zu geben:
Ich habe die Aufgabe bereits abgegeben und warte auf das Ergebnis..
Kann durch die gute Hilfe hier ja nur positiv sein! Mit Zunge

Also vielen Dank!!

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