Lindeberg-Feller-Theorem

04.12.2015, 15:19

Kääsee

Lindeberg-Feller-Theorem

Hallo ihr Lieben, ich habe folgendes Theorem:

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ seien $\begin{eqnarray*} X_{n,m}, 1\le m\le n \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariablen mit $\begin{eqnarray*} \mathbb E[X_{n,m}]=0 \end{eqnarray*}$
Gelte
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty}\sum_{m=1}^n\mathbb E[(X_{n,m})^2]=\sigma^2\in(0,\infty) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty}\sum_{m=1}^n\mathbb E[(X_{n,m})^2\mathbb I_{\{|X_{n,m}|>\epsilon\}}]=0, \forall \epsilon>0 \end{eqnarray*}$
Dann gilt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty}\sum_{m=1}^n X_{n,m} =\chi \end{eqnarray*}$ in Verteilung, wobei $\begin{eqnarray*} \textbf P_{\chi}=\mathcal N(0,\sigma^2) \end{eqnarray*}$

Nun wäre es super, wenn mir jemand helfen könnte, die zwei Bedinungen etwas besser zu verstehen, bzw. was diese mir genau sagen wollen.
Das erste sagt ja aus, dass die Summe der Varianzen der X_{n,m} (da Erwartungswert ja 0) bei n gegen unendlich gegen irgendeine Zahl konvergiert...
Beim zweiten betrachte ich jetzt nur noch die Varianzen der Zufallsvariablen, die betragsmäßig größer Epsilon sind, richtig? Und diese Summe konvergiert dann gegen 0? Und das soll für jedes Epsilon der Fall sein?
verwirrt

05.12.2015, 14:23

Kääsee

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Leuteee?

05.12.2015, 15:43

HAL 9000

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Ich weiß nicht so richtig, was du erwartest, denn eine konkrete Frage sehe ich nicht. verwirrt

Die erste Bedingung sagt, dass die Summe der Varianzen gleich $\begin{align*} \sigma^2 \end{align*}$ ist. Bei annähernd gleichmäßiger Aufteilung bedeutet dies für jedes einzelne $\begin{align*} m \end{align*}$

$\begin{align*} \mathbb{E}\left[ X_{m,n}^2 \right] \approx \frac{\sigma^2}{n} \qquad (*) \end{align*}$ ,

d.h. die Zufallsgrößen $\begin{align*} X_{m,n} \end{align*}$ werden immer kleiner, womit Ereignis $\begin{align*} \left\{ \left| X_{n,m} \right| >\epsilon \right\} \end{align*}$ für wachsende $\begin{align*} n \end{align*}$ immer seltener eintritt (abschätzbar über Tschebyscheff-Ungleichung). Nun wird aber nicht (*) gefordert, sondern eben deine zweite Bedingung, die einen ähnlichen Effekt hat. Meist stellen sich derart formulierte Bedingungen als allgemeiner heraus, sind aber eben im ersten Moment schwerer zu lesen.

05.12.2015, 15:49

Kääsee

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Danke, das hat mir schon geholfen. Ich versuche eben nur, die Bedingungen besser zu verstehen...

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