Konvergenz von Summen

04.12.2015, 15:29

myrmos

Konvergenz von Summen

Ich soll zeigen, ob die folgenden Reihen absolut konvergent, konvergent oder divergent sind:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt[4]{n^3+n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{(n+1)n^{1+(-1)^n}} \end{eqnarray*}$

Leider komme ich bei den Beispielen über den Ansatz nicht hinaus. Vielleicht könnte mir jemand einen Anstoß in die richtige Richtung geben

04.12.2015, 15:39

HAL 9000

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(1) ist konvergent (Beweis mit Leibniz), aber nicht absolut konvergent (Minorante der Betragsreihe ist die harmonische Reihe).

(2) ist divergent: Betrachte dazu mal die Reihenglieder für gerade und ungerade Indizes $\begin{align*} n \end{align*}$ getrennt.

06.12.2015, 11:54

myrmos

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Danke für die ANtwort. Hab alles verstanden, bis auf, dass die Harmonische reihe die Minorante ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[4]{n^3+n}} \geq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

in allen fällen ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \leq \frac{1}{\sqrt[4]{n^3+n}} \end{eqnarray*}$ bis auf $\begin{eqnarray*} n = 1 \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich dann, dass es immer noch gilt?

06.12.2015, 12:01

myrmos

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habs schon. ich habs auf

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[4]{n^3+n}} \geq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ geändert

06.12.2015, 12:17

HAL 9000

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Ja so geht's - oder eben dein vorheriges

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \leq \frac{1}{\sqrt[4]{n^3+n}} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ .

Das Minorantenkriterium greift auch dann, wenn die Abschätzung erst ab einem gewissen (beliebig großen, aber endlichem) Anfangsindex $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ gilt.

06.12.2015, 17:17

myrmos

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Jetzt hänge ich wieder beim 2.

Ich habe umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{(n+1)n^{1+(-1)^n}} \end{eqnarray*}$

nach

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n+1)(2n)^2} - \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

und die harmonische Reihe wäre in diesem Fall

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

nur für die Minorante müsste es ja positiv sein.

Irgendwie stehe ich hier auf der Leitung

06.12.2015, 17:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von myrmos
und die harmonische Reihe wäre in diesem Fall

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

nur für die Minorante müsste es ja positiv sein.

Ähem.... Wenn die Reihe $\begin{align*} \sum_{k} a_k \end{align*}$ divergiert, dann divergiert auch die Reihe $\begin{align*} \sum_{k} (-a_k) \end{align*}$ , eigentlich trivial.

06.12.2015, 17:28

myrmos

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aber $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n+1)(2n)^2} - \frac{1}{2n} \geq \sum_{n=1}^\infty\frac{-1}{2n} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ wie es sein sollte, ein ich das Vorzeichen umdrehe

06.12.2015, 17:30

HAL 9000

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Hmmm, ich hatte angenommen, das wäre klar: Man beweist die Divergenz der positiven Reihe

$\begin{align*} -\sum_{n=1} \left( \frac{1}{(2n+1)(2n)^2} - \frac{1}{2n} \right) = \sum_{n=1} \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{(2n+1)(2n)^2} \right) \end{align*}$

über das Minorantenkriterium, womit auch die eigentlich gesuchte Reihe (d.h. ohne Vorzeichenwechse) divergent ist, dann eben bestimmt divergent gegen $\begin{align*} -\infty \end{align*}$ . Ich hatte mir nicht vorstellen können, dass man das so wie du missverstehen kann. unglücklich

06.12.2015, 17:31

myrmos

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das hab ich mir auch gedacht, ich war mir nur nicht sicher, ob ich das Vorzeichne umdrehen darf

06.12.2015, 17:42

myrmos

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Ich verstehs immer noch nicht, weil

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1} \frac{1}{2n} \geq \sum_{n=1} \frac{1}{2n} - \frac{1}{(2n+1)(2n)^2} \end{eqnarray*}$

06.12.2015, 17:49

HAL 9000

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Was nützt dir diese Abschätzung durch eine divergente Majorante? Nichts. unglücklich

Du brauchst eine divergente Minorante, z.B. via.

$\begin{align*} \frac{1}{2n} - \frac{1}{(2n+1)(2n)^2} \geq \frac{1}{4n} \end{align*}$ ,

um nur eine von vielen Möglichkeiten zu nennen.

06.12.2015, 17:52

myrmos

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Danke für deine Mühe. Habs verstanden. Reihen liegen mir leider nicht so

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