Ausklammern

04.12.2015, 17:14

Maito Gui

Ausklammern

Hallo,

habe Fragen zu folgenden Aufgaben. Es geht um das ausklammern.

$\begin{eqnarray*} x²-3x+xy-3y \end{eqnarray*}$

Idee:

Soweit ich entehmen konnte, kann man hier nicht jeden einzelnen Term ausklammern. Sondern man muss wohl den gesamten Term splitten in y und y. Das wäre dann:

1.
$\begin{eqnarray*} x(x-3+y) \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} y(x-3) \end{eqnarray*}$

Die Lösung dieser Geichung ist mir bereits bekannt und zwar:

$\begin{eqnarray*} (x-3)*(x+y) \end{eqnarray*}$

Jedoch verstehe ich nicht wie man darauf kommt?

Die eine Lösung, wo man das y ausgeklammert hat ergibt $\begin{eqnarray*} (x-3) \end{eqnarray*}$ , was sicherlich die erste Lösungsteil darstellen soll.

Den 2. Lösungsteil ( $\begin{eqnarray*} (x+y) \end{eqnarray*}$ ) verstehe ich nicht, wie man darauf kommt.
Man hat hier die $\begin{eqnarray*} (-3x+y) \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} (x-3) \end{eqnarray*}$ einfach weggelassen und man kommt dann auf $\begin{eqnarray*} (x+y) \end{eqnarray*}$ .
Was ist dann eigentlich mit $\begin{eqnarray*} (-3x+y) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} (x+y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x-3) \end{eqnarray*}$ das Ergenis ist?
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Das gleiche Problem bei einer 2. Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} 2ax-5ay+a-2bx+5by-b \end{eqnarray*}$

Idee:

Jeweils a und b vereinzelt ausgeklammert. Da komm ich auf folgende 2 Zwischenergebnisse:

$\begin{eqnarray*} a(2x-5y+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -b(2x-5y+1) \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis lautet zu dieser Aufgabe: $\begin{eqnarray*} (a-b) (2x-5y+1) \end{eqnarray*}$

Auch hier hat man ein (2x-5y+1) weggelassen, warum?

04.12.2015, 17:17

Mathema

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Hallo,

du musst zweimal ausklammern.

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{x²-3x}+\textcolor{blue}{xy-3y} \end{eqnarray*}$

Klammere aus dem roten Teil $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus und aus dem blauen Teil $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

Was erhältst du?

04.12.2015, 17:31

Maito Gui

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Ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} x(x-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x-3) \end{eqnarray*}$

04.12.2015, 17:38

Mathema

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Du solltest mir nicht 2 Teilergebnisse (die richtig sind) liefern, sondern einen Term. Also:

$\begin{eqnarray*} x²-3x+xy-3y=x\textcolor{red}{(x-3)}+y\textcolor{red}{(x-3)} \end{eqnarray*}$

Nun klammern wir erneut aus. Welchem Faktor haben beide Produkte gemeinsam? Richtig - die rot markierte Klammer. Die klammern wir also aus.

$\begin{eqnarray*} x²-3x+xy-3y=x\textcolor{red}{(x-3)}+y\textcolor{red}{(x-3)}=\textcolor{red}{(x-3)}(...) \end{eqnarray*}$

Bei deiner zweiten Aufgabe geht es genauso. Auch da hast du ja schon richtige Teilergebnisse geliefert:

$\begin{eqnarray*} 2ax-5ay+a-2bx+5by-b=a(2x-5y+1)-b(2x-5y+1)=(2x-5y+1)(...) \end{eqnarray*}$

04.12.2015, 17:50

Maito Gui

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Okay bis zu dem Schritt:

$\begin{eqnarray*} x(x-3)+y(x-3) \end{eqnarray*}$ habe ich es verstanden.

Verstehe jetzt nicht warum erneut ausgeklammert werden muss. (x-3)*(x-3).

Bzw. wie das gehen soll, da man weder das x noch die 3 ausklammer kann?

04.12.2015, 17:58

Mathema

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Du musst schon lesen, was ich dir geschrieben habe. Wir klammern weder x noch 3 aus, sondern die ganze Klammer. Das scheint neu für dich zu sein.

Merke: Man kann nicht nur einzelne Zahlen oder Variablen ausklammern, sondern auch ganze Klammern.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{4y}\textcolor{red}{(8+x)}-\textcolor{red}{(8+x)}\textcolor{blue}{3z} \end{eqnarray*}$

Wieder haben beide Produkte die rote Klammer gemeinsam. Die Klammer klammern wir aus. In die zweite Klammer schreiben wir die blauen Faktoren: Also:

$\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{4y}\textcolor{red}{(8+x)}-\textcolor{red}{(8+x)}\textcolor{blue}{3z}=\textcolor{red}{(8+x)}(\textcolor{blue}{4y}-\textcolor{blue}{3z}) \end{eqnarray*}$

04.12.2015, 18:15

Maito Gui

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Also müsste ich

$\begin{eqnarray*} x(x-3) +y(x-3) \end{eqnarray*}$

nochmal ausklammern? Trotz deines Beispieles erschließt sich für mich da nicht der Sinn, wie das funktionieren soll. Aber ich scheine ein Schema entdeckt zu haben.

Wenn das was in der Klammer steht gleich ist, was man mit den beiden (x und y) als 1. ausgeklammert hat, so fällt automatisch eins weg (also einmal $\begin{eqnarray*} (x-3) \end{eqnarray*}$ ) , was das eine Ergebnis darstellt, und dann schaut man sich noch die beiden Faktoren die jeweils außerhalb der Klammer stehen, in diesem Beispiel x und y, und da da ein + dazwischen ist:

$\begin{eqnarray*} (x-3)(x+y) \end{eqnarray*}$ als Ergebnis.

Die Methode scheint auch bei der 2. Aufgabe zu funktionieren.

04.12.2015, 18:24

Mathema

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Zitat:

Also müsste ich

$\begin{eqnarray*} x(x-3) +y(x-3) \end{eqnarray*}$

nochmal ausklammern?

Daher schrieb ich am Anfang:

Zitat:

du musst zweimal ausklammern.

Du kannst doch ausklammern, du hast das doch schließlich z.B. bei $\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{y}-\textcolor{blue}{3}\textcolor{red}{y} \end{eqnarray*}$ hinbekommen. Da hast du doch das nun rote y vor eine Klammer gesetzt und die blauen Faktoren in die Klammer. Nicht anderes machen wir bei:

$\begin{eqnarray*} x²-3x+xy-3y=\textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(x-3)}+\textcolor{blue}{y}\textcolor{red}{(x-3)}=\textcolor{red}{(x-3)}(\textcolor{blue}{x+y}) \end{eqnarray*}$

Aber das kann ich dir anscheinend nicht begreifbar machen. Vielleicht hat ja jemand anders mehr Erfolg. Ich habe jedenfalls keine Idee mehr, wie ich es anders erklären kann. Daher verabschiede ich mich an dieser Stelle.

Wink

04.12.2015, 18:27

Maito Gui

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Danke dir für die Hilfe. Ich versuche es weiterhin zu verstehen smile

$\begin{eqnarray*} x(x-3) +y(x-3) \end{eqnarray*}$

Soll ich das so sehen, als wie darum nochmal eine Klammer wäre also so:

$\begin{eqnarray*} [ x(x-3) +y(x-3) ] \end{eqnarray*}$

Aber selbst da ergibt sich für mich keinen Sinn. Wenn ich $\begin{eqnarray*} (x*x-3 + y*x-3) \end{eqnarray*}$ nochmal ausklammere:

$\begin{eqnarray*} x(x-3+y-3) \end{eqnarray*}$

04.12.2015, 18:55

PhyMaLehrer

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Es fehlt vielleicht ein bißchen am "mathematischen Blick", der aber in diesem Fall gar nicht kompliziert ist. Wir haben also

x(x - 3) + y(x - 3)

Ich mache es jetzt mal für einen Moment etwas komplizierter. Aber vielleicht siehst du dann, was du sehen solltest. Wahrscheinlich macht dir Schwierigkeiten, daß du etwas anderes als eine einzelne Variable ausklammern sollst. Setzen wir für einen Moment

(x - 3) = z

Dann wird aus dem Term oben

xz + yz

Dann wird durch Ausklammern daraus

z * (x + y)

Das verstehst du doch?
Wenn du jetzt für das z wieder (x - 3) einsetzt, wird daraus ... ?

Wenn du dann verstanden bzw. gesehen hast, daß am Anfang in den beiden Produkten x(x - 3) und y(x - 3) derselbe Faktor (x - 3) auftritt, ist es auch ganz leicht, eben diesen gemeinsamen Faktor auszuklammern! Dann brauchst du auch den unnötig komplizierten Zwischenschritt nicht mehr. Wink

04.12.2015, 19:19

Maito Gui

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Aha jetzt verstehe ich es, wenn ich die $\begin{eqnarray*} (x-3) \end{eqnarray*}$ als z, bzw. als Buchstabe sehe. Dann ergibt das alles auch einen Sinn smile

$\begin{eqnarray*} (x-3)*(x+y) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank dafür Freude

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