Untervektorräume prüfen

04.12.2015, 19:32

Mockingjay

Untervektorräume prüfen

Meine Frage:
Hallo,

wahrscheinlich ist das für erfahrenere Mathematiker total leicht, aber ich tue mich schwer, zu prüfen ob es sich bei diesen Teilmengen um Untervektorräume von Abb(R,R) handelt:

a) $\begin{eqnarray*} M = \left\{ f: \mathbb R -> \mathbb R | f(0) = 0\right\} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} M = \left\{ f: \mathbb R -> \mathbb R | f(0) = 1\right\} \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} M = \left\{ f: \mathbb R -> \mathbb R | f(\mathbb R ) \subseteq \mathbb Q\right\} \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} M = \left\{ f: \mathbb R -> \mathbb R | f(1) = f(2)\right\} \end{eqnarray*}$
e) $\begin{eqnarray*} M = \left\{ \exists c\in \mathbb R :| f(x) | \leq c \forall x\in \mathbb R \right\ \end{eqnarray*}$
f) $\begin{eqnarray*} M = \left\{ f(x)\leq f(y) \forall x,y \in \mathbb R mit x<y \right\} \end{eqnarray*}$
g) $\begin{eqnarray*} M = \left\{ f(x)\geq 0 \forall x \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$
h) $\begin{eqnarray*} M = \left\{ f(ax)= a^{2}f(x) \forall a,x \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also man muss ja prüfen, dass die 0 in M ist, dass f+g in M sind, wenn f und g in M sind und das $\begin{eqnarray*} \Lambda f \end{eqnarray*}$ in M ist, wenn f in M.

Bei a) habe ich raus, dass es ein UVR ist.
Bei b) nicht, weil die Null nicht drin ist.
Bei c) nicht, weil die Multiplikation mit Lambda nicht klappt.

Stimmt das?

Aber dann beginnen die Probleme. Bei der d) glaube ich, dass die Null drin ist, aber wie soll das mit Addition und Multiplikation gehen? So wie ich es versucht hab scheint es ein UVR zu sein, aber ich bin da sehr unsicher... Und bei den restlichen fällt es mir auch sehr schwer, bzgl. 0 etc. Aussagen zu treffen...

Sollte ja eigentlich total leicht sein, nur ich bin da irgendwie unsicher... Bitte um Hilfe. Danke!

04.12.2015, 19:41

ichbindiehanna

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Bei der d) musst du die die Frage stellen

Wenn du zwei beliebige Funktionen (zb g(x), h(x)) hast, für die gilt f(1)=f(2), was passiert mit einer Funktion, die als Lienarkombination von g und h darstellbar ist?

Also "r*g(x)+s*h(x)". Erfüllt diese Funktion noch die Bedingung für die angegebene Teimenge?

lg

04.12.2015, 19:44

Mockingjay

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hallo, danke für die Antwort. Aber warum muss man das jetzt mit einer Linearkombination schreiben? Wie kommst du darauf?

04.12.2015, 19:51

ichbindiehannah

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ein UVR ist ein VR, das bedeutet, dass jede Linearkombination der enthaltenen Elemente wieder darin enthalten sein muss (genau wie du schon richtig sagtest: "man muss prüfen, dass die 0 in M ist, dass f+g in M sind, wenn f und g in M sind und das $\begin{eqnarray*} \Lambda f \end{eqnarray*}$ in M ist")

04.12.2015, 20:29

Mockingjay

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ja, aber wir haben es immer so gemacht, dass wir die drei Bedingungen einzeln nachrechnen. Wie würde das hier gehen?

Danke :-)

04.12.2015, 23:36

Mulder

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Einzeln nachrechnen ist auch ok. Vielleicht auch übersichtlicher und sogesehen einfacher, wenn man gerade erst anfängt, sich einzuarbeiten. d-h unterscheiden sich von der Vorgehensweise eigentlich nicht großartig von den vorherigen. Bei e) steckt allerdings ein Darstellungsfehler drin. Bitte nochmal überarbeiten.

Nichts anders als alle anderen Aufgaben, die ihr schon dazu gemacht habt.

Bei der d) zum Beispiel: Da sind alle Funktionen drin, die an den Stellen x=1 und x=2 den gleichen Funktionswert haben. Natürlich liegt die Nullfunktion dadrin, die hat überall den Wert null. Also natürlich auch $\begin{eqnarray*} f(1)=f(2)=0 \end{eqnarray*}$ .

Nimm doch mal zwei beliebige Funktionen die dies ebenfalls erfüllen. Nennen wir die $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ . Was passiert, wenn die addiert werden? Die Addition geschieht punktweise, das heißt $\begin{eqnarray*} (f+g)(x) = f(x)+g(x) \end{eqnarray*}$ . Wir wissen: $\begin{eqnarray*} f(1)=f(2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(1)=g(2) \end{eqnarray*}$ .

Und nun vergleichen:

$\begin{eqnarray*} (f+g)(1) = f(1)+g(1) \end{eqnarray*}$

Und

$\begin{eqnarray*} (f+g)(2) = f(2)+g(2) \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} f(1)=f(2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(1)=g(2) \end{eqnarray*}$ gilt auch $\begin{eqnarray*} f(1)+g(1)=f(2)+g(2) \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} (f+g)(1)=(f+g)(2) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} (f+g) \in M \end{eqnarray*}$ .

Nicht soviel Angst vor diesen simplen Rechnungen haben. Versuchs mal weiter. Einfach mal drauf los. Gucken, was gegeben ist, sauber zu Papier bringen und losrechnen.

05.12.2015, 09:22

Mockingjay

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hey Mulder,

danke für deine erklärenden Worte! Das hab ich nun verstanden und Sicherheit gewonnen, mit der Multiplikation hab ichs auch leicht hinbekommen. Die e) müsste so aussehen:

$\begin{eqnarray*} M = \left\{ \exists c\in \mathbb R :| f(x) | \leq c \forall x\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Sorry für den Fehler!

Also, bei der e) glaube ich, dass die Null enthalten ist, denn es gibt ein c in R, für das die 0 kleiner/gleich c ist.
Bzgl. Addition müsste es auch stimmen, denn es gibt ein c, dass größer/gleich f+g ist. Oder? Da bin ich mir jetzt nicht sicher, es muss ja für alle x gelten.
Dasselbe Problem hab ich bei der Multiplikation. Ich glaube es gibt eins, aber 100%ig sicher bin ich nicht.

Stimmt das so? Kann jemand da Rückmeldung/Hilfe geben?

Danke!

Grüße
Mockingjay

05.12.2015, 12:31

Mockingjay

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Wäre cool, wenn mir da bei der e) jemand Rückmeldung geben könnte!

Gruß
Mockingjay

05.12.2015, 22:45

Mulder

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RE: Untervektorräume prüfen
Ich zitiere nochmal:

Zitat:

Original von Mulder
Nicht soviel Angst vor diesen simplen Rechnungen haben. Versuchs mal weiter. Einfach mal drauf los. Gucken, was gegeben ist, sauber zu Papier bringen und losrechnen.

Ich sehe keinerlei Rechnungen von dir, ich weiß nicht so genau, wozu ich Rückmeldung geben könnte.

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