Warum ist Wurzel n keine Cauchy-Folge?

04.12.2015, 20:29

forbin

Warum ist Wurzel n keine Cauchy-Folge?

Hallo Leute,

sicherlich war die Frage schonmal da, aber ich habe nichts gefunden.
Nun, ich würde sie einfach gerne nochmal stellen und gleichzeitig meine Unklarheiten bei Cauchyfolgen beseiten.

Es ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} = sqrt{n} \end{eqnarray*}$ keine Cauchy-Folge ist.
Intuitiv klar, denn sie ist ja nicht beschränkt.
Nun sei: $\begin{eqnarray*} m>n>0 => m = n + \alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a_{m} - a_{n}| = \sqrt{n+\alpha} - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$
Mit dritter Binomischer Formel erhalte ich also:
$\begin{eqnarray*} |\frac{\alpha}{\sqrt{n+\alpha } + \sqrt{n} }|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Nun, das gilt sicherlich für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ , da die entstandene Folge ja konvergiert.

Aber was ist der Fehler?
Ich weiß, dass die Folgeglieder zwar mit wachsenden m und n näher zusammenrücken, aber was mache ich falsch?

04.12.2015, 20:48

leoclid

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Du musst dir überlegen, dass das für jedes Episilon für alle m, n größer als ein bestimmtes N gelten muss.

04.12.2015, 21:25

forbin

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Naja, ich kann ja zum Beispiel für alpha verschiedene Werte nehmen und für epsilon ebenfalls.
Wenn ich jedesmal n umstelle, erhalte ich doch meine Lösung?

05.12.2015, 06:07

005

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Zitat:

Original von forbin
Naja, ich kann ja zum Beispiel für alpha verschiedene Werte nehmen ...

Du kannst fuer $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gar nichts "nehmen": $\begin{eqnarray*} \alpha=m-n \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Genaueres ist nicht bekannt, muss aber abgedeckt werden. So rum laeuft das.

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