(x²+y³)^(1/2) // (x³+y²)^(1/2)

24.08.2004, 22:23	Bobo	Auf diesen Beitrag antworten »
(x²+y³)^(1/2) // (x³+y²)^(1/2) Wie beweise ich am besten, dass es unendlich viele Paare x-y verschiedener positiver rationaler Zahlen gibt, für die sowohl (x²+y³)^(1/2) als auch (x³+y²)^(1/2) rational ist. Gruß Bobo
25.08.2004, 01:24	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Dies ist Aufgabe 4 der zweiten Runde des laufenden Bundeswettbewerbs Mathematik. Ich empfehle dir eine geeignete Parameterdarstellung für x und y zu finden. Mehr Tipps kann ich nicht geben. Gruß, Gustav
25.08.2004, 01:39	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=5613 Aufgaben vom Bundeswettbewerb (sofern das stimmt) solltet ihr der Fairness halber doch alleine machen. Gruß vom Ben
17.09.2004, 14:53	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
So... nachdem der Einsendeschluss vorüber ist: x und y sind nach Voraussetzung kommensurabel, d.h. es gibt ein $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ , so dass gilt $\begin{eqnarray} x = \alpha \cdot y \end{eqnarray}$ o.B.d.A. ist $\begin{eqnarray} x < y \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \alpha> 1 \end{eqnarray}$ Weiter legen wir für $\begin{eqnarray} \beta\in \mathbb Q \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \beta >\sqrt[5]{2} \end{eqnarray}$ fest: $\begin{eqnarray} \beta^2 = \alpha \end{eqnarray}$ und definieren $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{4} \beta^4 \cdot(\beta^{10}-4) \end{eqnarray}$ somit ist $\begin{eqnarray} y = \frac{1}{4} \beta^6 \cdot(\beta^{10}-4) \end{eqnarray}$ es folgt unmittelbar $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2+y^3} = \sqrt{\frac{1}{16} \beta^8 \cdot(\beta^{10}-4)^2+ \frac{1}{64} \beta^{18} \cdot(\beta^{10}-4)^3} = \frac{1}{8}\sqrt{\beta^8(\beta^{10}-4)^2(4+\beta^{10}(\beta^{10}-4))}=\frac{1}{8}\beta^4(\beta^{10}-4)(\beta^{10}-2) \end{eqnarray}$ analog hierzu berechnet man $\begin{eqnarray} \sqrt{x^3+y^2} \end{eqnarray}$

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