Reihe mit Logarithmus Konvergenz

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Unendliche Reihe Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe mit Logarithmus Konvergenz
Meine Frage:
Untersuchen Sie, für welche die Reihe konvergiert.



Meine Ideen:
Logarithmus haben wir noch nicht eingeführt, wir dürfen also auf Schulwissen zurückgreifen. Mit log x wird hier der Logarithmus von x zur Basis 2 bezeichnet.

Welches Konvergenzkriterium lohnt sich da? Ich habe an den Cauchy-Verdichtungssatz gedacht, aber dafür müsste ich ja zeigen, dass die Folge beschränkt und monoton fallend ist, oder? Wie würde man das machen?

Danke für Hilfe ;-)
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe mit Logarithmus Konvergenz
Üblicherweise zieht man hier das Integralkriterium zu Rate.
Unendliche Reihe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe mit Logarithmus Konvergenz
ah, aber das hatten wir noch nicht in der Vorlesung. Ich denke/hoffe also, dass es auch mit einem anderen geht!

Weiß da jemand Bescheid?

Danke ;-)
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe mit Logarithmus Konvergenz
Dann ist Cauchy-Verdichtungssatz das nächstliegende. Monoton fallend ist leicht zu zeigen, was du mit "beschränkt" meinst, verstehe ich nicht.
Unendliche Reihe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe mit Logarithmus Konvergenz
wie zeige ich denn, dass sie monoton fällt? Also intuitiv ist es ja klar, wenn n größer wird, wird auch der Nenner größer, da n+1 > n und log(n+1) > log(n) und damit der Bruch kleiner wird. Reicht das schon als Beweis?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe mit Logarithmus Konvergenz
Und das Produkt von größeren Zahl ist auch eine größere Zahl. Man kann alles auf die Ordnungsaxiome runterbrechen, aber wenn du dich mit Reihen beschäftigst, wird man sicher nicht so ins Detail gehen sollen.
 
 
Unendliche Reihe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe mit Logarithmus Konvergenz
ok, klar.

Mit Cauchy-Verdichtungskriterium komme ich dann auf ,

was ja für a=1 divergiert, für a=2 aber schon konvergiert. Die Frage ist, wie finde ich raus, was mit den a dazwischen ist?
Unendliche Reihe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe mit Logarithmus Konvergenz
wie komme ich da drauf? Freue mich über jede Hilfestellung!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe mit Logarithmus Konvergenz
Mit dem Integralkriterium oder du wendest den Cauchy-Verdichtungssatz erneut an Augenzwinkern
Unendliche Reihe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe mit Logarithmus Konvergenz
der gefällt mir so langsam Augenzwinkern danke für die Hilfe!

Eine Reihe habe ich noch, mit der ich bzgl. Konvergenz nicht weiterkomme:



welches Kriterium ist hier das richtige? Der Cauchy-Verdichtungssatz ja wohl nicht, da die Folge m.E. nicht monoton fallend ist. Mit dem Quotientenkriterium hab ich es versucht, aber komme nicht weiter, da man nichts vereinfachen kann. Auch Tricks wie erweitern, sodass man die 3. Binom. Formel anwenden kann, nutzen irgendwie nicht viel.

Bitte um einen Tipp, welches Kriterium mich da weiterbringt!
Unendliche Reihe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe mit Logarithmus Konvergenz
Jetzt habe ich doch eine Idee: Erweitern, s.d. Binom. Formel anwendbar ist. Dann bleibt im Zähler nur die 1 übrig, im Nenner halt ein Term. Dann sieht man ja leicht, dass die Folge doch monoton fallend ist. Dann Cauchy-Verdichtungssatz. Geht es so?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Unendliche Reihe
Auch Tricks wie erweitern, sodass man die 3. Binom. Formel anwenden kann, nutzen irgendwie nicht viel.

Dumm gelaufen, denn genau das funktioniert hier.
Unendliche Reihe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe mit Logarithmus Konvergenz
Ok, dann komme ich auf

Wie weiter? Ich habe es mit dem Cauchy-Verdichtungssatz versucht, das sollte zum Ziel führen, oder? Wenn ich mich nicht vertan habe, kommt Konvergenz dabei raus.
Unendliche Reihe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe mit Logarithmus Konvergenz
ich sehe gerade, ich habe im Zähler das Minus vergessen. Damit ist es natürlich auch nicht mehr monoton fallend und ich kann den Cauchy-Verdichtungssatz vergessen. Dann bin ich ratlos wie es weitergehen soll...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Verdichtungssatz geht. Vielleicht ist dir ja auch bereits bekannt, dass für konvergent ist (so ein paar "Standard"-Vergleichsreihen sollte man nach einer Startphase schon parat haben), was sich hier mit per Majorantenkriterium prima anwenden lässt.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe mit Logarithmus Konvergenz
Zitat:
Original von Unendliche Reihe
ich sehe gerade, ich habe im Zähler das Minus vergessen. Damit ist es natürlich auch nicht mehr monoton fallend und ich kann den Cauchy-Verdichtungssatz vergessen. Dann bin ich ratlos wie es weitergehen soll...


Da die Konvergenz von und die Konvergenz von äquivalent sind, spielt das Minus dort keine Rolle. Eigentlich benötigt Cauchy auch nur monotone Nullfolge, welche Art von Monotonie spielt keine Rolle (wie man oben sieht).

@HAL Er hat die Konvergenz der Majoranten direkt vor dieser Aufgabe sogar selbst gezeigt Augenzwinkern
Unendliche Reihe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe mit Logarithmus Konvergenz
genau, das ist ja ganz klar.

Stimmt, das mit dem Minus sollte mich nicht irritieren, ich könnte es ja auch einfach vor das Summenzeichen ziehen, oder? Dann hätte man ja auch wieder eine monoton fallende Folge.

Auf jeden Fall ist mir jetzt alles klar, danke IfindU und HAL 9000 für all die Hilfe!!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe mit Logarithmus Konvergenz
Genau. Ich habe das Minus in der Reihe gelassen, da gilt, falls die Reihe konvergiert, aber dort auf beiden Seiten etwas undefiniertes steht, falls nicht.
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