Stetigkeit einer Funktion beweisen

05.12.2015, 12:37

MeMeansMe

Stetigkeit einer Funktion beweisen

Hallo zusammen,

ich brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabenstellung:

Zeigen Sie für die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ , an welchen Stellen sie stetig ist und an welchen nicht.

Mein Ansatz:

Ich will zeigen, dass, wenn $\begin{eqnarray*} |y-x| < \delta \end{eqnarray*}$ gilt, dann auch $\begin{eqnarray*} |f(y)-f(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \epsilon, \delta > 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich fange also zunächst mal an zu rechen mit

$\begin{eqnarray*} |f(y)-f(x)| = ´\left|\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+x^2}\right| = \left|\frac{x+y}{(x^2+1)(y^2+1)}\right||x-y| <|x+y||x-y| \overset{\text{abschätzen}}{<} |x+y|\cdot\delta \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} |x+y|\cdot\delta = \epsilon \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \delta = \frac{\epsilon}{|x+y|} \end{eqnarray*}$ haben wir dann:

$\begin{eqnarray*} |f(y)-f(x)| < |x+y|\cdot\delta = |x+y|\cdot\frac{\epsilon}{|x+y|} = \epsilon \end{eqnarray*}$

Somit gilt
$\begin{eqnarray*} |f(y)-f(x)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ und damit ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ an allen Stellen $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig (und demnach gleichmäßig stetig).

Kann man das so machen?

Danke schonmal im Voraus.

05.12.2015, 18:04

HAL 9000

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Die Funktion ist überall stetig, richtig.

Sie ist auch gleichmäßig stetig auf ganz $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ , aber für diese Aussage ist dein Beweis unzureichend:

Da hättest du ein $\begin{align*} \delta \end{align*}$ finden müssen, das nur von $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ , aber nicht von $\begin{align*} x,y \end{align*}$ abhängig ist. unglücklich

05.12.2015, 18:33

MeMeansMe

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Danke für die Antwort. Könntest du mir noch sagen, wo es genau in meinem Beweis hakt und wie ich ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ finden kann, dass nur von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ abhängt?

05.12.2015, 18:56

HAL 9000

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Man könnte z.B. abschätzen

$\begin{align*} \left| \frac{x+y}{(x^2+1)(y^2+1)} \right| \leq \frac{|x|+|y|}{(x^2+1)(y^2+1)} = \frac{|x|}{(x^2+1)(y^2+1)} + \frac{|y|}{(x^2+1)(y^2+1)} \leq \frac{|x|}{x^2+1} + \frac{|y|}{y^2+1} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \end{align*}$ .

Damit haben wir Lipschitz-Stetigkeit $\begin{align*} \left| f(y)-f(x) \right| \leq 1\cdot |x-y| \end{align*}$ , was hinreichend ist für gleichmäßige Stetigkeit.

05.12.2015, 19:13

MeMeansMe

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Ok, danke

Was ging denn bei meinem Beweis genau schief?

Das Problem ist auch, dass wir über Lipschitz-Stetigkeit noch nicht gesprochen haben. Gibt es dann einen alternativen Weg?

05.12.2015, 19:47

HAL 9000

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Ok, vergiss das Lipschitz: Gemäß der letzten von mir genannten Ungleichung kann man $\begin{align*} \delta = 1\cdot \epsilon = \epsilon \end{align*}$ wählen - wie du also siehst: Nur von $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ , aber nicht von $\begin{align*} x,y \end{align*}$ abhängig.

05.12.2015, 20:32

MeMeansMe

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Könntest du noch mal explizit hinschreiben, damit ich dich nicht falsch verstehe und sehe, wie es richtig funktioniert. Ich verstehe den Punkt, dass $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängen darf, aber so ganz klar ist mir das Ganze noch nicht. Wenn ich den kompletten Kontext explizit gegeben habe, wird es wahrscheinlich einfacher.

05.12.2015, 20:53

HAL 9000

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Dann lies dir einfach nochmal die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit durch.

05.12.2015, 21:09

MeMeansMe

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Wenn für jedes $\begin{eqnarray*} \delta, \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in M \end{eqnarray*}$ das Folgende gilt, dann ist $\begin{eqnarray*} f : M \to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig:

Wenn $\begin{eqnarray*} |x-y| < \delta \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| < \epsilon \end{eqnarray*}$

D.h. es gibt ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , sodass das oben Genannte gilt.

Mir geht es eher darum, dass ich immer noch nicht weiß, wie ich meinen Beweis so hinkriege, dass er richtig wird. Wenn du sagst, man könne $\begin{eqnarray*} \delta = 1\cdot \epsilon = \epsilon \end{eqnarray*}$ wählen, dann weiß ich nicht, wie ich das in meinen Beweis einbringen soll. Ich bin mittlerweile auch ziemlich verwirrt. Darum bat ich dich, nochmal aufzuschreiben, wie die expliziten Schritte vonstatten gehen.

05.12.2015, 22:24

HAL 9000

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Mein $\begin{align*} \delta = 1\cdot \epsilon \end{align*}$ ist doch die direkte Konsequenz von

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} \left| \frac{x+y}{(x^2+1)(y^2+1)} \right| \leq \frac{|x|+|y|}{(x^2+1)(y^2+1)} = \frac{|x|}{(x^2+1)(y^2+1)} + \frac{|y|}{(x^2+1)(y^2+1)} \leq \frac{|x|}{x^2+1} + \frac{|y|}{y^2+1} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \end{align*}$

Deine Abschätzung oben - du hast beide Nennerterme $\begin{align*} (x^2+1)(y^2+1) \end{align*}$ mit einem Federstrich durch 1 abgeschätzt - war einfach viel zu grob, und da gibt es auch nichts zu retten, solange das so drin bleibt. unglücklich

06.12.2015, 12:06

MeMeansMe

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Ok, das hat mir jetzt geholfen. Mir war nicht bewusst, dass meine Abschätzung zu grob war. Wenn ich das jetzt in meinen Beweis einbaue (d.h. die weniger grobe Variante, die du vorstellst), ist es dann besser?

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