Beweis Nullfolge unendlich, Konvergenz

05.12.2015, 17:27

fragent

Beweis Nullfolge unendlich, Konvergenz

Guten Tag,

wie kann ich beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to + \infty } \left( \sqrt n\cdot \left( \sqrt[n]{a}-1 \right) \right) \to 0 \end{eqnarray*}$

Mir ist klar, dass die Wurzelfunktion nach oben unbeschränkt ist, dieser Faktor wird beliebig groß.

Außerdem weiß ich, dass die n-te Wurzel einer Konstanten a>0 gegen 1 konvergiert, das heißt der zweite Faktor geht gegen Null.

Mehr ist auch nicht bekannt, z.B. L'Hopital-Regel ist noch nicht eingeführt...

Wie kommt man weiter?

05.12.2015, 17:34

HAL 9000

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Die Bernoulli-Ungleichung könnte helfen: Setzt man $\begin{align*} a_n:=\sqrt[n]{a}-1 \end{align*}$ an, so erhält man mit dieser Ungleichung

$\begin{align*} a = (1+a_n)^n \geq 1+na_n \end{align*}$ .

Das bringt einen im Fall $\begin{align*} a\geq 1 \end{align*}$ ans Ziel. Für $\begin{align*} a<1 \end{align*}$ muss man das ganze etwas modifizieren.

05.12.2015, 19:02

fragent

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Danke für den Tipp, aber
Irgendwie sehe ich nicht, wie einen das weiterhelfen soll

Du hast also die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ so definiert, dass es der zweite Faktor der fraglichen Folge ist ...

Mein Ziel ist es ja, irgendwie zu zeigen, dass dann genau diese Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ "schneller" gegen Null geht als die Wurzel gegen unendlich...

Man kann z.B. mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung das so umformen

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{ \left( 1+a_n\right)^n } \geq \sqrt[n]{ 1+n\cdot a_n } \end{eqnarray*}$

?

Ich habe die Idee (deine Idee?) noch nicht wirklich verstanden, meinst du wenn $\begin{eqnarray*} a\geq 1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} a=1+x,\ \text{mit}\ x\geq 0 \end{eqnarray*}$
Und dann ist
$\begin{eqnarray*} x\geq n a_n \end{eqnarray*}$ ?

05.12.2015, 19:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von fragent
Irgendwie sehe ich nicht, wie einen das weiterhelfen soll

Herrje... die von mir hergeleitete Ungleichung $\begin{align*} a\geq 1+na_n \end{align*}$ kann man nach $\begin{align*} a_n \end{align*}$ umstellen: $\begin{align*} a_n \leq \frac{a-1}{n} \end{align*}$

Im Fall $\begin{align*} a\geq 1 \end{align*}$ bedeutet dies $\begin{align*} 0\leq \sqrt{n}\cdot a_n \leq \frac{a-1}{\sqrt{n}} \end{align*}$ , und daraus folgt was für $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ ?

06.12.2015, 14:57

hulp

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Damit kannst du dann direkt zeigen, dass es eine Nullfolge ist (durch Abschätzung von oben und unten).

Für a=1 sollte es trivial sein...

0<a<1 kann man einfach den Kehrwert von a betrachten...

Sei a'=1/a, dann ist a' > 1

Dann ist a=1/a'
Also:
$\begin{eqnarray*} \text{Folge}\, = \sqrt n ( \sqrt[n]{1/a'}-1 ) \end{eqnarray*}$

Nun sei $\begin{eqnarray*} a_n := \sqrt[n]{1/a'}-1 = \frac 1 {\sqrt[n]{a'}} -1 \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} 1/a' = {(a_n+1)^n} \geq 1+na_n \end{eqnarray*}$

Also
$\begin{eqnarray*} a_n \leq (1/a'-1)/n \end{eqnarray*}$

Nun in die Folge einsetzen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt n\cdot a_n \leq \sqrt n \left( \frac {\frac {1}{a'} -1}{n} \right) = \frac 1 {\sqrt n} (1/a'-1) = \frac 1 {\sqrt n} (a-1) \end{eqnarray*}$

wobei nun $\begin{eqnarray*} -1<(a-1)<0 \end{eqnarray*}$ , also insb beschränkt und bekanntlich $\begin{eqnarray*} 1/\sqrt n\to\, 0 \end{eqnarray*}$

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