Konvergenz der Finite-Elemente-Methode

05.12.2015, 19:22	Max1324	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz der Finite-Elemente-Methode Guten Abend, im folgenden ist die Punktauswertung von $\begin{eqnarray} H^1 \end{eqnarray}$ -Funktionen immer im Sinne des Spursatzes gemeint. Für $\begin{eqnarray} V_0 = \{v \in H^1(0,) : v(0) = 0 \} \end{eqnarray}$ seien für $\begin{eqnarray} a: V_0 \times V_0 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ die Voraussetzungen vom Satz von Lax-Milgram erfüllt. Weiters sei $\begin{eqnarray} F \in V_0^ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V_h \end{eqnarray}$ sei der Raum der stückweise linearen und stetigen Funktionen mit dem Teilraum $\begin{eqnarray} V_{0,h} = V_0 \cap V_h \end{eqnarray}$ . Weiters sei $\begin{eqnarray} u \in V_0 \end{eqnarray}$ die Lösung des Variationsproblems: Gesucht ist $\begin{eqnarray} u \in V_0 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \forall v \in V_0: a(u,v) =F(v) \end{eqnarray}$ . Für eine Folge von Zerlegungen $\begin{eqnarray} \{\mathcal{T}_h \} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ zeige man für die entsprechenden Näherungslösungen $\begin{eqnarray} u_h \in V_{0,h} \end{eqnarray}$ , dass gilt $\begin{eqnarray} \Vert u - u_h \Vert_{H^1(0,1)} \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} h \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ . Ich habe das Lemma von Céa und folgendes Lemma zur Verfügung: Für den Interpolationsoperator $\begin{eqnarray} I_h: H^1(0,1) \rightarrow V_h \end{eqnarray}$ gelten die Fehlerabschätzungen $\begin{eqnarray} \Vert u - I_h(u) \Vert_{L^2(0,1)} \le h^2 \vert u \vert_{H^2(0,1)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Vert u - I_h(u) \Vert_{H^1(0,1)} \le h \vert u \vert_{H^2(0,1)} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} u \in H^2(0,1) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \vert . \vert_{H^2(0,1)} \end{eqnarray}$ die $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ -Norm der zweiten Ableitung ist. Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} H^2(0,1) \end{eqnarray}$ liegt dicht in $\begin{eqnarray} H^1(0,1) \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} (w_k)_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ eine Folge in $\begin{eqnarray} H^1(0,1) \end{eqnarray}$ , sodasss $\begin{eqnarray} lim_{k \rightarrow \infty} \Vert w_k - u \Vert_{H^1(0,1)} = 0 \end{eqnarray}$ . Der Interpolationsoperator ist stetig, damit gilt: $\begin{eqnarray} <br /> \Vert u - u_h \Vert_{H^1(0,1)} = \Vert u_0 - u_{0,h} \Vert_{H^1(0,1)} \le \frac{C}{\alpha} inf_{v_h \in V_{0,h}} \Vert u_0 - v_h \Vert_{H^1(0,1)}<br /> \le \frac{C}{\alpha} \Vert u_0 - I_h(u_0) \Vert_{H^1(0,1)} = \frac{C}{\alpha} \Vert u - I_h(u) \Vert_{H^1(0,1)} = \frac{C}{\alpha} lim_{k \rightarrow \infty} ( \Vert w_k - I_h(w_k) \Vert^2_{L^2(0,1)} + \vert w_k - I_h(w_k) \vert^2_{H^1(0,1)})^{1/2}<br /> \le \frac{C}{\alpha} lim_{k \rightarrow \infty} ((h^4 + h^2) \vert w_k\vert^2_{H^2(0,1)})^{1/2} \le \sqrt{2} \frac{C}{\alpha} h lim_{k \rightarrow \infty} \vert w_k\vert_{H^2(0,1)}<br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt wüsste, dass der Grenzwert der $\begin{eqnarray} H^2 \end{eqnarray}$ -Seminormen existiert, würde mit $\begin{eqnarray} h \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ das geforderte folgen. Aber ich sehe keinen Grund, warum das so sein müsste. Kann mir da jemand weiterhelfen? Vielleicht ist der ganze Ansatz ja schon falsch... Liebe Grüße Max

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