Zentraler Grenzwertsatz

06.12.2015, 15:01

Kääsee

Zentraler Grenzwertsatz

Heyho, ich habe nochmal eine ziemlich blöde Frage:

Gilt denn $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty} \left (1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x \end{eqnarray*}$
im Allgemeinen nur für reelle Zahlen?

Ich habe hier nämlich einen Beweis zum Zentralen Grenwertsatz mit charakteristischen Funktionen. Man will am Ende Konvergenz gegen die charakteristische Funktion der Standard-Normalverteilung erhalten.
Nach ein paar Umformungen bleibt noch folgendes stehen:
$\begin{eqnarray*} \left (1+\frac{-t^2}{2n} +o\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n \end{eqnarray*}$

Und das konvergiert ja für n gegen unendlich gerade gegen $\begin{eqnarray*} exp\left(-\frac{t}{2}\right) \end{eqnarray*}$ wie gewollt, da 1/n gegen 0 geht.
Jetzt steht da allerdings, das man auch noch für komplexe Zahlen folgendes zeigen muss:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} (c_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray*} c_n \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} c\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{c_n}{n}\right)^n\overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} e^c \end{eqnarray*}$ .

Und das wird dann ziemlich umständlich mit zwei Teillemmas gezeigt... Am Ende kriegt man dann heraus, dass $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{c_n}{n}\right)^n\overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} e^{c_n} \end{eqnarray*}$ Und wegen Stetigkeit von exp und da c_n gegen c konvergiert, kann ich dann auch sagen, dass die Aussage damit gezeigt ist?
verwirrt

Finde das alles etwas verwirrend...

LG und schönen Nikolaustag noch Augenzwinkern

06.12.2015, 15:08

IfindU

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RE: Zentraler Grenzwertsatz
Die von dir zitierte Aussage über die komplexe Zahlen ist nicht interessant oder wichtig, dass $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ komplex ist, sondern dass der Grenzwert auch noch stimmt, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht fest ist.

Aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{ k \to \infty} \lim_{n \to \infty} \left ( 1 + \frac {c_k } n \right)^n = e^c \end{eqnarray*}$ , aus der Stetigkeit von Polynomen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{ n \to \infty} \lim_{k \to \infty} \left ( 1 + \frac {c_k } n \right)^n = e^c \end{eqnarray*}$ .

Das besondere bei dem Lemma ist dass beide Grenzwertprozesse auch gleichzeitig betrachtet werden können.

06.12.2015, 15:23

Kääsee

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Hmm, aber warum steht denn da dann, dass ich solch eine Aussage noch für komplexe Zahlen zeigen muss? verwirrt

Edit: bzw wo ist der Haken beim Beweis des Zentralen Grenzwertsatzes?

06.12.2015, 15:26

IfindU

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Sicher, dass dort steht, dass man es für komplexe Zahlen zeigen muss? Ich würde eher davon ausgehen, dass man es gleich für komplexe Zahlen zeigt, weil der Beweis sich nicht vereinfacht, nur weil man reelle Zahlen betrachtet.

Aber ich weiß nicht was ihr in eurer Vorlesung macht, was klar ist, und was nicht.

06.12.2015, 15:36

Kääsee

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Ich habe mal ein Bild angehängt.

06.12.2015, 15:53

IfindU

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Ok, dann verzeih. Es klingt so als ob ihr es für reelle Zahlen bereits habt. Wenigstens ich sehe nicht so schnell wie man aus $\begin{eqnarray*} \left ( 1 + \frac {x_n} n\right)^n \to e^x \end{eqnarray*}$ folgern kann, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left ( 1 + \frac {x_n + i y_n} n\right)^n= \lim_{n\to\infty} \left ( 1 + \frac {x_n } n\right)^n \cdot \lim_{n\to\infty} \left ( 1 + \frac { i y_n} n\right)^n= e^{x + iy} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_n, y_n \to x,y \end{eqnarray*}$ . Die zweite Gleichung ist "relativ" klar, die erste aber ganz und gar nicht.

06.12.2015, 16:01

Kääsee

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Also in diesem (1.3) steht wohl der Fall für reelle Folgen.. Jedoch gelangt man dann in dem Beweis für komplexes c allerdings am Ende auch zu einem Punkt, an dem man noch
$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{\gamma}{n}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$ stehen hat. Und da steht dann ja auch direkt $\begin{eqnarray*} e^{\gamma} \end{eqnarray*}$ ... Aber über dieses Gamma wird doch überhaupt keine Aussage gemacht, ob es jetzt komplex oder reell ist?! Oder ist da der springende Punkt, dass man keine Folge mehr hat, sondern das Gamma fest ist?
Beim Beweis vom Zentralen Grenzwertsatz ist doch aber das t auch fest, oder irre ich mich? Oder ist das ausschlaggebende da diesen kleinen Restterm, den man noch hat?

06.12.2015, 16:10

IfindU

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Es steht indirekt da, dass $\begin{eqnarray*} \gamma \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . So steht dort $\begin{eqnarray*} \gamma > |c| \end{eqnarray*}$ und offenbar sind die komplexen Zahlen nicht geordnet, also ist $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ eine positive reelle Zahl. D.h. man will es auf reelle Zahlen reduzieren.

06.12.2015, 16:15

Kääsee

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Ah ok, du hast natürlich recht, danke!

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