Parameter für Stetigkeit

06.12.2015, 15:40

mudmath

Parameter für Stetigkeit

Moin, hab hier noch einmal eine Aufgabe, mit der ich nicht wirklich was anfangen kann:

Gibt es a,b $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so dass die Funktion f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f[x]:= \sqrt{|x+2|} \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} x \leq -6 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \geq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax+b \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} -6<x<2 \end{eqnarray*}$

stetig ist, d.h in allen $\begin{eqnarray*} x_{0} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig ist? Wenn ja, dann geben sie alle entsprechenden geordneten Paare (a,b) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ an, und skizzieren sie den Graphen der zugehörigen Funktionen f auf dem Intervall [-15,10]
Argumentieren sie insbesondere mit den Begriffen "linksseitiger Grenzwert" und "rechtsseitiger Grenzwert"

06.12.2015, 18:44

Dopap

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Es geht also darum, die beiden Äste der Funktion (Rot,Grün) mit einem linearen Stück

$\begin{eqnarray*} y(x):=ax+b \end{eqnarray*}$ stetig zu verbinden.

Wenn du dir die Endpunkte anschaust, dann ist rechnerisch nix zu tun. Es kommt hier nur auf die Verwendung und Umsetzung der geforderten Begriffe an.

06.12.2015, 19:27

mudmath

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mhh das wäre ja dann a=0 und b=2 bzw wenn es um alle paare geht dann a=0 und alle b>0 oder wie? Bin jetzt ein wenig ratlos Big Laugh

06.12.2015, 20:02

Dopap

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$\begin{eqnarray*} y(x):=2 \quad -6<x<2 \end{eqnarray*}$ ist richtig Freude

die Funktion lautet demnach $\begin{eqnarray*} f(x):=\begin{cases} \sqrt{|x+2|} & x \leq -6 \\ 2 & -6<x<2 \\ \sqrt{x+2} & x \geq 2\end{cases} \end{eqnarray*}$

Es geht ersteinmal sinnigerweise um die Punkte P(-6,2) und Q(2,2).

Formal ist jetzt zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \searrow 2 }=\lim_{x \nearrow 2 } = f(2) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \searrow -6 }=\lim_{x \nearrow -6 } = f(-6) \end{eqnarray*}$ gilt. (Stetigkeit !)

Achtung: Das ist sehr einfach. Also nicht verwirren lassen Augenzwinkern

06.12.2015, 21:49

mudmath

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$\begin{eqnarray*} f(-6)=\sqrt{|-6+2|} =2<br /> f(2)=\sqrt{2+2} =2 ? \end{eqnarray*}$

und warum gilt das nur für 2. Die beiden Stücke müsste man doch auch an jedem anderen Punkt in Y-Richgtung verbinden können oder nicht?

06.12.2015, 23:07

Dopap

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man könnte die alles mögliche tun um die beiden Teile zu verbinden.
Du sollst diese Teile (ROT,GRÜN) an den beiden Enden mit einer Strecke (BLAU) verbinden. Ist das so schwer zu verstehen?
Und dann nachschauen ob die neue Funktion an den beiden Knickstellen stetig ist.

ja, die Funktionswerte stimmen.

Was ist nun mit den Links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerten ?
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Und wenn das klar ist kann man über Stetigkeit in ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ urteilen.

06.12.2015, 23:30

Dopap

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man könnte die Graphen auch so "verbinden"

aber da braucht man mit Stetigkeit erst gar nicht anzufangen. Big Laugh

06.12.2015, 23:40

mudmath

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Die Grenzwerte sind jeweils 2 ?

edit: jetzt erst gesehen deinen Post. Jetzt bin ich noch mehr verwirrt. Vorallem finde ich im Netz keine Aufgabe die ich jetzt vergleichen könnte mit meiner. Ich brauch immer etwas länger bei solchen Geschichten, sorry. Haben das Thema letzte Vorlesung angefangen und ich hab einfach noch keinen Durchblick.

07.12.2015, 02:15

Dopap

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Zitat:

Original von mudmath
Die Grenzwerte sind jeweils 2 ?

das "wissen" wir alle schon lange, es ist eben wie erwähnt zu einfach. Aber du sollst es formal durchziehen:

Überprüfung der Stetigkeit von f(x) an der Stelle x0 =-6

1. $\begin{eqnarray*} f(-6)=2 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow -6 }(\sqrt{-x-2}\,)=2 \end{eqnarray*}$ , ist ein linksseitiger Grenzwert und stimmt mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{-(-6)-2} \end{eqnarray*}$ überein.

3.) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \searrow -6} (2) =2 \end{eqnarray*}$ , ist ein rechtsseitiger Grenzwert.

Bemerkung: in Klammern stehen die ( jeweiligen ) Funktionsterme, die stetig sind.

4.) Beide Grenzwerte sind gleich und stimmen mit $\begin{eqnarray*} f(-6) \end{eqnarray*}$ überein. q.e.d

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Und das Ganze jetzt nochmals für die Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=2 \end{eqnarray*}$ geschockt

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