Stetigkeit einer Funktion

06.12.2015, 19:59

hermann1337

Stetigkeit einer Funktion

Hallo,
ich habe eine kurze Frage zur Stetigkeit einer Funktion. Ich soll untersuchen in welchen Punkten
ihre Definitionsbereichs die folgende Funktion stetig ist.
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \Rightarrow \mathbb R , x\Rightarrow f\left(x\right) = \left(x-3\right) ^{-1} \Rightarrow x\neq 3 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \Rightarrow \mathbb R , x\Rightarrow f\left(x\right) = 0 \Rightarrow x= 3 \end{eqnarray*}$

es ist ein f(x) mit definitionen für gleich und ungleich 3. Wusste nur nicht wie ich diese übereinander in eine geschweifte klammer bekomme, daher der umweg.

Ich habe das ganze nun so erklärt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-3} \end{eqnarray*}$ die definitionslücke bei x=3 hat welche ja durch die aufgabe oben quasi "aufgefüllt" wird mit 0 für x=3.

Wenn ich nun gesondert betrachte ist y=x-3 stetig da dies ein polynom ist.
Bei zeichnen des Graphen fällt auf, dass sich dieser asymptotisch im positiven sowie negativen bereich dem wert 3 auf der x-Achse annähert. Der Graph hat also eine Lücke zwischen y=0 und den 2 linien die sich x=3 annähren und ist in diesem Bereich unstetig.

Kann ich das so beweisen oder ist da eine mit Formeln belegte Herangehensweise sinnvoller?

Liebe Grüße smile

07.12.2015, 07:14

MeMeansMe

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Hey,

vielleicht mal in LaTeX:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=\left\{\begin{array}{ll} (x-3)^{-1} & \text{wenn }x\neq 3 \\<br /> 0 & \text{wenn }x=3\end{array}\right. <br /> \end{eqnarray*}$

Zu deinen Vorschlägen: Es ist eine gute Idee, die zwei Teilfunktionen $\begin{eqnarray*} f_1(x) = (x-3)^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2(x)=0 \end{eqnarray*}$ auf Stetigkeit zu untersuchen. Du hast das für $\begin{eqnarray*} f_1(x) \end{eqnarray*}$ angedeutet, jedoch hast du $\begin{eqnarray*} x-3 \end{eqnarray*}$ auf Stetigkeit untersucht (übrigens mit dem richtigen Argument, dass $\begin{eqnarray*} x-3 \end{eqnarray*}$ ein Polynom ist). Nur lautet die Funktion anders. Und $\begin{eqnarray*} f_2(x) \end{eqnarray*}$ musst du dann natürlich auch auf Stetigkeit untersuchen.

Der Wert $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ ist hier wichtig, und graphisch hast du dir auch schon klar gemacht, warum. Nur solltest du auch den formalen Beweis für die Unstetigkeit an dieser Stelle bringen. D.h. beispielsweise mit $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ .

Kommst du hiermit weiter?

07.12.2015, 12:46

hermann1337

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ja genau an dieser stelle liegt mein problem. das ganze mit den zugehörigen formeln darzustellen. ich setze mich jetzt nochmal dran und poste meinen ansatz, wenn ich soweit bin. smile

07.12.2015, 12:56

klarsoweit

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RE: Stetigkeit einer Funktion

Zitat:

Original von MeMeansMe
Es ist eine gute Idee, die zwei Teilfunktionen $\begin{eqnarray*} f_1(x) = (x-3)^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2(x)=0 \end{eqnarray*}$ auf Stetigkeit zu untersuchen.

Das Dumme ist nur, daß das auch mißverständlich aufgefaßt werden kann. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f_2(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist nämlich isoliert für sich betrachtet stetig. Es geht hier aber um die Frage, ob die Funktion f(x) an der Stelle x=0 stetig ist oder nicht.

07.12.2015, 13:00

hermann1337

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das ist genau das problem, warum ich nicht weiß wie ich es mit formeln darstellen soll.
ich nähere mich ja bis zu einem infinitesimal kleinen wert an die 0 an bevor ich an die stelle komme bei der mit x=3 die funktion nicht definiert ist.

hierfür habe ich dann die angabe, dass bei x=3, y=0 ist. also müsste ja genau dieser eine punkt der nicht definiert ist durch die angabe aufgefüllt sein und die funktion somit stetig sein?
der graph hat ja durch die infinitesimale annäherung nur eine minimale lücke, welche dadurch geschlossen wird.

07.12.2015, 13:08

MeMeansMe

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Dass der Punkt "aufgefüllt" wird, heißt ja nicht, dass die Funktion stetig ist. Du kannst auch versuchen, den Grenzwert der Funktion zu berechnen, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einmal von rechts und einmal von links gegen 3 geht. Wenn die beiden Grenzwerte übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ stetig, ansonsten nicht. Das ist dann nicht die $\begin{eqnarray*} \epsilon-\delta \end{eqnarray*}$ -Methode, sondern du benutzt die Definition von Stetigkeit über Folgen. Funktioniert in diesem Fall evtl. sogar leichter.

@klarsoweit:
Wenn die Frage ist, wo die Funktion stetig ist und wo nicht, würde ich auch die "uninteressanten" Punkte (d.h. alle Punkte außer $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ ) auf Stetigkeit prüfen. Vielleicht reicht dann $\begin{eqnarray*} f_1(x)=(x-3)^{-1} \end{eqnarray*}$ aus. Oder?

07.12.2015, 13:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von hermann1337
das ist genau das problem, warum ich nicht weiß wie ich es mit formeln darstellen soll.

Deine Schwierigkeiten kann ich insgesamt nicht nachvollziehen, denn unterm Strich ist das eine Aufgabe, die eigentlich Schulniveau, aber noch nicht einmal Abi-Niveau hat. Aber vielleicht postest du ja nur zufällig im Hochschulbereich. smile

Nun denn. Was hier zu untersuchen ist, was mit den Funktionswerten f(x) passiert, wenn man mit dem x immer näher an die Stelle x_0=3 heranrückt. Dazu kannst du z.B. x = h+3 mit h > 0 setzen und den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{h \sea 0} f(h+3) \end{eqnarray*}$ bilden.

Zitat:

Original von MeMeansMe
@klarsoweit:
Wenn die Frage ist, wo die Funktion stetig ist und wo nicht, würde ich auch die "uninteressanten" Punkte (d.h. alle Punkte außer $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ ) auf Stetigkeit prüfen. Vielleicht reicht dann $\begin{eqnarray*} f_1(x)=(x-3)^{-1} \end{eqnarray*}$ aus. Oder?

Außerhalb von x=3 reicht es natürlich aus, nur diese Funktion zu betrachten. smile

07.12.2015, 13:32

hermann1337

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Nein ich poste nicht zufällig im Hochschulbereich^^
Ich habe leider während meiner Schulzeit den Mathematikunterricht zu fast 100% verschlafen.
Ärgere ich mich heute sehr drüber Hammer

Das Prinzip ist mir klar. Ich bekomme dann für rechts und linksseitigen Grenzwert $\begin{eqnarray*} \pm \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ raus.

07.12.2015, 13:42

klarsoweit

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Da ist leider in deiner Rechnung was schief gelaufen. Poste mal deine Rechnung. Beachte, daß du für x den Term h+3 einsetzen mußt.

Zitat:

Original von hermann1337
Ich habe leider während meiner Schulzeit den Mathematikunterricht zu fast 100% verschlafen.

Das ist schade, aber wenigstens ehrlich. Allerdings bedeutet das für dich (aber auch für uns) einen Mehraufwand, denn da muß einiges an Stoff nachgeholt werden, der an der Uni / Fachhochschule oder was auch immer vorausgesetzt wird. geschockt

07.12.2015, 13:47

hermann1337

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das lustige ist, ich habe schon alle technischen scheine bestanden.
ich muss mir das schema wie ich da vorgehe noch mal genauer angucken, anscheinend habe ich es doch noch nicht verstanden^^
wenn ich das h+3=x einsetze bekomme ich natürlich $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$

07.12.2015, 13:50

MeMeansMe

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Zitat:

Original von hermann1337
Ich habe leider während meiner Schulzeit den Mathematikunterricht zu fast 100% verschlafen.

[/quote]

Aber gut, dass du trotzdem ein Studium bestreitest, dass Mathematik beinhaltet, hermann1337 Augenzwinkern

Rechne mal die Grenzwerte

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to3^{-}} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 3^{+}}f(x) \end{eqnarray*}$

aus. Das ist im Prinzip das, was auch klarsoweit vorschlägt. Auf diese Weise näherst du dich einmal von links und einmal von rechts dem "kritischen" Punkt an. Dann siehst du, dass da was schiefläuft, wenn es um Stetigkeit geht.

Edit: leider etwas zu spät Augenzwinkern

07.12.2015, 13:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von hermann1337
wenn ich das h+3=x einsetze bekomme ich natürlich $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$

OK. Du hast hier also eine Polstelle und mithin ist die Funktion hier nicht stetig.

07.12.2015, 15:25

hermann1337

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Danke

Werde mir das ganze noch mal an anderen Aufgaben zu Gemüte führen

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