Das Volumen eines Drehkörpers

06.12.2015, 20:27

89Analysis98

Das Volumen eines Drehkörpers

Die Aufgabe:

"Man zeige, dass das Volumen des Drehkörpers, der durch Rotation des Flächenstückes (a<b, $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} F = \{ (x,y)^T \in \mathbb{R}^2 : 0 \leq y \leq f(x) , a \leq x \leq b \} \end{eqnarray*}$

um die x-Achse im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ entsteht, gleich $\begin{eqnarray*} \pi \int_{[a,b]} f^2 d \lambda \end{eqnarray*}$ ist.

Man berechne insbesondere das Voluen des Körpers K, der entsteht, wenn f(x)=2-x, $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 2 \end{eqnarray*}$ ."

Den ersten Teil habe ich so gelöst:

$\begin{eqnarray*} B_F = \{ (x,y,z)^T \in \mathbb{R}^3 : x \in [a,b] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{y^2+z^2} \leq f(x) \} \Rightarrow V( B_F ) = \int_{B_F} 1 d \lambda (x,y,z) = \int_{[a,b]} ( \int_{(B_F)_x} 1 d \lambda (y,z)) d \lambda (x) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} (B_F)_x = \{ (y,z) \in \mathbb{R}^2: \sqrt{y^2+z^2} \leq f(x) \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{[a,b]} \lambda_2 (( B_F )_x ) d \lambda (x) = \int_{[a,b]} f^2 (x) \pi d \lambda (x) = \pi \int_{[a,b]} f^2 d \lambda \end{eqnarray*}$

Beim zweiten Teil schaffe ich es nicht, das Integral aufzulösen, vielleicht kann mir da wer helfen...

$\begin{eqnarray*} V= \pi \int_{[0,2]} 4-4x + x^2 d \lambda \end{eqnarray*}$

07.12.2015, 09:00

klarsoweit

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RE: Das Volumen eines Drehkörpers

Zitat:

Original von 89Analysis98
um die x-Achse im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ entsteht, gleich $\begin{eqnarray*} \pi \int_{[a,b]} f^2 d \lambda \end{eqnarray*}$ ist.

Hm. Ich hätte jetzt eher $\begin{eqnarray*} \pi \int_{[a,b]} (f(x))^2 ~dx \end{eqnarray*}$ erwartet.

Zitat:

Original von 89Analysis98
Den ersten Teil habe ich so gelöst:

Die Herleitung kann ich jetzt nicht nachvollziehen. Vielleicht auch, weil Hintergrundinformationen fehlen, z.B. wie das Lambda zu verstehen ist. Ich hätte hier auch eher eine Transformation auf Zylinderkoordinaten erwartet

Zitat:

Original von 89Analysis98
Beim zweiten Teil schaffe ich es nicht, das Integral aufzulösen, vielleicht kann mir da wer helfen...

$\begin{eqnarray*} V= \pi \int_{[0,2]} 4-4x + x^2 d \lambda \end{eqnarray*}$

Mal abgesehen davon, daß es $\begin{eqnarray*} V= \pi \int_{[0,2]}(4-4x + x^2)~dx \end{eqnarray*}$ heißen muß, ist deine Behauptung, du könntest das Integral nicht lösen, ja wohl nicht dein Ernst. geschockt

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