Totale Differenzierbarkeit Matrix |
| 06.12.2015, 21:05 | delfin21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Totale Differenzierbarkeit Matrix Hallo 
Leider komme ich im Moment bei folgender Aufgabe nicht weiter und wäre super, wenn jemand vll. helfen könnte 
gegeben ist die Funktion f(x)=Ax+b wobei A aus eine nxm Matrix, b aus R^m ist und und x aus R^n. Zu zeigen ist, dass f überall total differenzierter und man soll für jeden x aus R^n die Ableitung f'(x) angeben. Meine Ideen: totale Differenzierbarkeit einer Funktion im Punkt a bedeutet, dass ich die Funktion in einer Darstellung f(x)= f(a) + f´(a) (x-a)+ phi(x) darstellen kann. Und limphi(h) / h = 0 für h -> 0 Wäre dies dann hier f(x)= f(a) + A(x-a) + phi(x) ? Aber was genau ist dieses Phi genau? und ist dann f´(a)= Jac (f)(a)x = J*v ? Die Jacobi matrix gibt mir ja alle partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen an. Allerdings habe ich bei der gegeben Funktion keine Komponentenfunktionen sondern selbst eine Matrix. Diese wird mit dem Vektor multipliziert und am Ende nochmal b addiert.. Wie geht man diese Aufgabe also an? Vielen lieben Dank schon mal für eure Hilfe!
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| 06.12.2015, 21:45 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Totale Differenzierbarkeit Matrix Leichter zugänglich finde ich die Idee der Ableitung als Linearisierung einer Differenz. Ich vermute, A soll eine mxn Matrix sein. Dann ist und du willst die Differenz linearisieren, d.h in der Form mit und einer linearen Funktion schreiben. Wenn du dir hier die Differenz hinschreibst, ergibt sich der Rest von selbst.
Sagt wer? 
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| 07.12.2015, 10:01 | delfin21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke
Dürfe ich das dann also so schreiben:also x-a=h f(x)-f(a)=f'(a)(h) + phi(h) Ax+b - Aa+b = f'(a)(h) + phi(h) A(h)= f'(a)(h) + phi(h) also f'(a) = A - (phi(h)/ h) = A darf ich dann bereits annehmen das phi(h) für h -> 0 gegen 0 geht? muss man den term für phi(h) angeben? wenn ja, wie bekommt man ihn? gilt nun auch f'(x)= A für alles x aus R^n?
Danke ! |
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| 07.12.2015, 20:02 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast doch mit a und x angefangen, ich hätte gleich a und a+h bevorzugt
Ich habe so den Eindruck, dass du noch nicht verstanden hast, was diese Gleichung bedeutet:
Du suchst eine lineare Abbildung f'(a) die - bis auf einen Fehler - gleich der linearen Abbildung A ist. Was wird man also für f'(a) nehmen? Und was ist dann phi(h)? |
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| 12.12.2015, 12:04 | delfi21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
würde man dann A als f'(a) nehmen und z.B. die Nullabbildung für phi?
Dann würde zumindest die Gleichung stimmten
Danke! |
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| 12.12.2015, 13:50 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es bleibt einem letztlich gar nichts anderes übrig, denn die Ableitung ist eindeutig bestimmt. |
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