Häufungspunkte

07.12.2015, 22:45

Rbn

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Häufungspunkte

Hallo ihr Lieben!
Ich bin mir bei einigen Aufgaben nicht ganz sicher, ob ich sie so aufassen kann und wollte von daher mal fragen, ob ich so vorgehen kann:

Gegeben ist die Folge $\begin{align*} a_n:= \lim \limits_{n \to \infty} \sup (a_n+b_n) \leq \lim \limits_{n \to \infty} \sup (a_n)+ \lim \limits_{n \to \infty} \sup (b_n) \end{align*}$ mit $\begin{align*} n \in \mathbb{N} \end{align*}$ Beweisen sie, dass die Gleichung gilt, wenn $\begin{align*} a_n \end{align*}$ und $\begin{align*} b_n \end{align*}$ beschränkt sind.
Für mich als Laien sieht das schwer nach der Dreiecksungleichung aus, aber ich kann mir irgendwie nicht vorstellen, dass es so einfach ist. Habt ihr ne Idee, wie ich vorgehen kann?

Drei Aufgaben weiter, findet sich das hier:
Existiert eine reelle folge $\begin{align*} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{align*}$ mit $\begin{align*} |a_{n+1}-a_n |\geq n \end{align*}$ mit $\begin{align*} n\in \mathbb{N} \end{align*}$ , die dennoch einen Häufungspunkt hat?
Hier habe ich argumentiert, dass die Ungleichung eine Divergenz fordert, die größer gleich ist, als eine lineare Fkt. (und damit auch schneller wächst). Wegen der Divergenz kann meinem Kenntnisstand nach kein HP vorliegen. Oder sehe ich das falsch/übersehe ich was?

Zu der letzten Aufgabe habe ich leider keine wirkliche Idee, wie ich vorgehen soll:
Beweisen sie:
$\begin{align*} x \in \mathbb{R} \end{align*}$ ist genau dann der $\begin{align*} \lim \sup \end{align*}$ der Folge $\begin{align*} x_n \end{align*}$ , wenn $\begin{align*} \forall \epsilon >0 \end{align*}$ die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
a) $\begin{align*} \exists \end{align*}$ unendlich viele n, für die gilt $\begin{align*} x_n > x- \epsilon \end{align*}$
b) $\begin{align*} \exists \end{align*}$ nur endlich viele n, für die gilt $\begin{align*} x_n > x+ \epsilon \end{align*}$
Hat da vielleicht jemand einen Ansatz parat?

Herzlichen Dank im voraus! Schönen Abend noch!

07.12.2015, 23:42

10001000Nick1

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RE: Häufungspunkte

Zitat:

Original von Rbn
Gegeben ist die Folge $\begin{align*} a_n:= \lim \limits_{n \to \infty} \sup (a_n+b_n) \leq \lim \limits_{n \to \infty} \sup (a_n)+ \lim \limits_{n \to \infty} \sup (b_n) \end{align*}$ mit $\begin{align*} n \in \mathbb{N} \end{align*}$ Beweisen sie, dass die Gleichung gilt, wenn $\begin{align*} a_n \end{align*}$ und $\begin{align*} b_n \end{align*}$ beschränkt sind.

Bei der Formulierung ist da irgendwas schief gegangen. Dieses $\begin{eqnarray*} a_n:=... \end{eqnarray*}$ macht da keinen Sinn; außerdem ist das eine Ungleichung. smile

smile

Um die Ungleichung für beschränkte Folgen zu zeigen, schau dir erstmal eure Definition von $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} \end{eqnarray*}$ an; du könntest das z.B. mit einem Widerspruchsbeweis machen.

Zitat:

Original von Rbn
Wegen der Divergenz kann meinem Kenntnisstand nach kein HP vorliegen.

Die Folge $\begin{eqnarray*} ((-1)^n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ hat also keinen Häufungspunkt?

Zitat:

Original von Rbn
Zu der letzten Aufgabe habe ich leider keine wirkliche Idee, wie ich vorgehen soll:

Erstmal gleicher Hinweis wie oben: Definition anschauen und damit ein bisschen rumspielen. Schreibe hier am besten mal eure Definition hin, damit wir beide von der gleichen Definition reden.

08.12.2015, 00:02

Rbn

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Hallo Nick! Danke für deine ausführliche Antwort!

Hmm, das := steht auch so in der Aufgabe, aber Sinn macht das eher nicht, das stimmt wohl.
Die 1. Definition ist folgendermaßen:
Sei $\begin{align*} \{a_k\}_{k=1}^{\infty} \end{align*}$ eine Zahlenfolge. Man definiert die Folge $\begin{align*} x_n := \sup \{ a_k, k\geq n\} \end{align*}$ und die Zahl $\begin{align*} \lim \limits_{n \to \infty} \sup :=\lim \limits_{n \to \infty}x_n \end{align*}$ . Der $\begin{align*} \lim \inf \end{align*}$ analog. (Wörtl. aus dem Skript)

Für den Widerspruchsbeweis müsste ich das kleiner gleich umdrehen zu einem größer und dann ein Gegenbeispiel anführen, oder? Jedenfalls wäre das nun mein Plan.

Doch, ich fürchte, dass die sogar zwei hat, nämlich 1 und -1, aber kann ich das allgemein zeigen? Erfüllt $\begin{align*} (-1)^n \end{align*}$ denn die Ungleichung $\begin{align*} |a_{n+1}-a_n|\geq n \end{align*}$ ? Ich meine doch nicht. Vielleicht sollte ich argumentieren, dass wegen der (durch die Ungleichung geforderten bestimmten Divergenz keine Häufungspunkte möglich sind!

Okay, soweit bin ich nun:
a) Ist ja dann quasi die Definition des Häufungspunktes, weil unendlich viele Punkte unterhalb des $\begin{align*} \lim \sup \end{align*}$ liegen, denn dann existiert ein Häufungspunkt unter dem ,,höchsten" Häufungspunkt.
b) Daraus folgt schlußendlich, dass es keinen Häufungspunkt unter dem ,,höchsten" gibt.

08.12.2015, 11:22

Rbn

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Mahlzeit zusammen!

Wegen des Beweises über den Widerspruch bin ich weiter gekommen (wenn man mich fragt sogar fertig). Hier meine Idee:

"Wenn $\begin{align*} \lim \limits _{n \to \infty} \sup (a_n+b_n) \leq \lim \limits _ {n \to \infty} (a_n) + \lim \limits _ {n \to \infty} (b_n) \end{align*}$ nicht gilt, so muss $\begin{align*} \lim \limits _{n \to \infty} \sup (a_n+b_n) > \lim \limits _ {n \to \infty} (a_n) + \lim \limits _ {n \to \infty} (b_n) \end{align*}$ gelten und es darf keine Folge existieren, sodass die Ungleichheit nicht gilt.

Ich wähle $\begin{align*} a_n=(-1)^n \ \land \ b_n=2(-1)^n \end{align*}$ . Aus $\begin{align*} a_n \leq 1 \end{align*}$ folgt für n gerade $\begin{align*} a_n=1 \leq 1 \end{align*}$ und für n ungerade $\begin{align*} a_n=-1 \leq 1 \end{align*}$ . Somit ist der $\begin{align*} \lim \limits_{n \to \infty} \sup (a_n)=1 \end{align*}$
Aus $\begin{align*} b_n \leq 2 \end{align*}$ folgt für n gerade $\begin{align*} b_n=2 \leq 2 \end{align*}$ und für n ungerade $\begin{align*} b_n=-2 \leq 2 \end{align*}$ . Somit ist der $\begin{align*} \lim \limits_{n \to \infty} \sup (b_n)=2 \end{align*}$ . Also sind $\begin{align*} a_n \land b_n \end{align*}$ beschränkt.

Somit folgt für die Ungleichung: $\begin{align*} \lim \limits _{n \to \infty} \sup (a_n+b_n) > \lim \limits _ {n \to \infty} (a_n) + \lim \limits _ {n \to \infty} (b_n) \\ <=> \ 3 > 3 \end{align*}$ , was offensichtlich falsch ist, da 3=3 ist."

Bezüglich der anderen beiden Aufgaben bin ich aber noch nicht großartig weiter.
Aber eine Idee bezüglich der letzten habe ich noch. Wenn x der Limes Superior ist, dann gibt es (gemäß Definition des HP) unendlich viele Punkte von $\begin{align*} x_n \end{align*}$ , sodass $\begin{align*} x_n >x- \epsilon \end{align*}$ ist. Das ist mir klar, aber das formal zu machen fällt mir schwer.
Damit ist auch der zweite Teil der Aufgabe klar: Wenn x der Limes Superior ist, darf es nur endlich viele $\begin{align*} x_n \end{align*}$ geben, sodass $\begin{align*} x_n>x+ \epsilon \end{align*}$ . Nur wie zeige ich das? verwirrt

verwirrt

08.12.2015, 14:26

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Rbn
Für den Widerspruchsbeweis müsste ich das kleiner gleich umdrehen zu einem größer und dann ein Gegenbeispiel anführen, oder? Jedenfalls wäre das nun mein Plan.

Du nimmst an, es gäbe zwei beschränkte Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N}, (b_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} (a_n+b_n)>\limsup_{n\to\infty} a_n+\limsup_{n\to\infty} b_n \end{eqnarray*}$ und folgerst daraus einen Widerspruch.

In deiner letzten Antwort hast du nur gezeigt, dass die Ungleichung für zwei konkrete Folgen gilt, was aber natürlich kein Beweis für alle Folgen ist.

Ich sehe gerade, dass ein direkter Beweis wahrscheinlich doch schneller geht:
Zu zeigen ist also, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \sup\{a_k+b_k\mid k\geq n\}\leq \lim_{n\to\infty} \sup\{a_k\mid k\geq n\}+\lim_{n\to\infty} \sup\{b_k\mid k\geq n\} \end{eqnarray*}$ .

Letztendlich musst du also nur zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \sup\{a_k+b_k\mid k\geq n\}\leq \sup\{a_k\mid k\geq n\}+\sup\{b_k\mid k\geq n\} \end{eqnarray*}$ . Ist dir klar, warum diese Ungleichung gilt?

Zitat:

Original von Rbn
Doch, ich fürchte, dass die sogar zwei hat, nämlich 1 und -1, aber kann ich das allgemein zeigen?

Ja, $\begin{eqnarray*} ((-1)^n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ hat zwei Häufungspunkte, was deine These, eine divergente Folge hätte keine Häufungspunkte, widerlegt. smile

smile

Ob eine bestimmt divergente Folge einen Häufungspunkt hat, hängt davon ab, ob man $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ als Häufungspunkte zulässt.

Zitat:

Original von Rbn
Vielleicht sollte ich argumentieren, dass wegen der (durch die Ungleichung geforderten bestimmten Divergenz keine Häufungspunkte möglich sind!

Da steht nur, dass $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n|>n \end{eqnarray*}$ sein soll; nicht $\begin{eqnarray*} (a_{n+1}-a_n)>n \end{eqnarray*}$ . Bei letzterem hättest du Recht: Die Folge divergiert bestimmt (gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ).
Wegen der Betragsstriche können die Folgenglieder aber "springen"; d.h. die Folge muss nicht monoton wachsend sein. Sie kann zwar nicht konvergieren, aber trotzdem einen Häufungspunkt haben. Vielleicht kannst du dir ja irgendein Beispiel basteln.

Um die letzte Aufgabe kümmern wir uns später. smile

smile

08.12.2015, 17:25

Rbn

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Ja, weshalb die gilt ist mir klar, aber kann ich die Grenzwerte einfach so weglassen? Ist die Relation von k und n dann nicht auch überflüssig?

Beweis kann ich gleich liefern.

Sie kann nicht konvergieren aber aus teilfolgen bestehen! Z.b. $\begin{align*} a_n= 0 \end{align*}$ für gerade und $\begin{align*} a_n= e^n \end{align*}$ für ungerade n. Somit ist 0 ein HP, oder?

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08.12.2015, 22:21

Rbn

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Entschuldigt den Doppelpost, aber mir fiel ein besseres Beispiel, als eine zusammengesetzte Folge ein: $\begin{align*} a_n=2n(1+(-1)^n) \end{align*}$

Mal eben zum Verständnis:
Die Häufungspunkte einer Menge (z.B. $\begin{align*} M= \{ \frac{1}{n} | n \in \mathbb{N}\} \end{align*}$ ) lassen sich über Teilfolgen bestimmten (in dem Falle nur null), jedoch muss man ausschließen, dass die Folge weitere Häufungspunkte hat?
Wäre es bei dem Beispiel eine Argumentation zu sagen, dass $\begin{align*} |p-m|<\epsilon \end{align*}$ mit $\begin{align*} p \in \mathbb{R} \land m \in M \land \epsilon >0 \end{align*}$ (wobei p der potentielle HP ist), nicht in jeder Umgebung $\begin{align*} \pm \epsilon \end{align*}$ um p ein Punkt existiert?

09.12.2015, 19:03

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Rbn
Z.b. $\begin{align*} a_n= 0 \end{align*}$ für gerade und $\begin{align*} a_n= e^n \end{align*}$ für ungerade n. Somit ist 0 ein HP, oder?
[...]
Entschuldigt den Doppelpost, aber mir fiel ein besseres Beispiel, als eine zusammengesetzte Folge ein: $\begin{align*} a_n=2n(1+(-1)^n) \end{align*}$

Passt beides. Freude

Freude

Zitat:

Original von Rbn
Ja, weshalb die gilt ist mir klar, aber kann ich die Grenzwerte einfach so weglassen?

Du musst dann natürlich noch begründen, warum aus der Ungleichung die Ungleichung mit den Grenzwerten folgt (z.B. brauchst du auf der rechten Seite die Grenzwertsätze; da musst du dir überlegen, warum du die hier anwenden darfst).

Zitat:

Original von Rbn
Mal eben zum Verständnis:
Die Häufungspunkte einer Menge (z.B. $\begin{align*} M= \{ \frac{1}{n} | n \in \mathbb{N}\} \end{align*}$ ) lassen sich über Teilfolgen bestimmten (in dem Falle nur null), jedoch muss man ausschließen, dass die Folge weitere Häufungspunkte hat?

Ein bisschen muss man da aufpassen: Häufungspunkte einer Folge und Häufungspunkte der Menge der Folgenglieder müssen nicht übereinstimmen.
(Jeder Häufungspunkt der Menge der Folgenglieder ist ein Häufungspunkt der Folge; andersrum gilt das aber nicht, wie man an konstanten Folgen sieht.)

Zitat:

Original von Rbn
Wäre es bei dem Beispiel eine Argumentation zu sagen, dass $\begin{align*} |p-m|<\epsilon \end{align*}$ mit $\begin{align*} p \in \mathbb{R} \land m \in M \land \epsilon >0 \end{align*}$ (wobei p der potentielle HP ist), nicht in jeder Umgebung $\begin{align*} \pm \epsilon \end{align*}$ um p ein Punkt existiert?

Sagen kannst du das natürlich, musst es aber noch begründen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.12.2015, 20:15

Rbn

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Der passende Grenzwertsatz wäre ja, dass die Summe innerhalb eines Grenzwertes die Summe der Grenzwerte ist. Damit wäre das ja gezeigt, oder?
Dass $\begin{align*} a \in A \land b\in B\\ \sup(a+b)\leq \sup (a) + \sup(b) \end{align*}$ ist, ist leicht, da nicht gezeigt werden muss, dass die Suprema existieren, da das in der Aufgabe vorausgesetzt ist. Somit folgt: $\begin{align*} \sup (a) \geq a \\ \sup (b) \geq b \end{align*}$ Summiert man die beiden kommt man auf $\begin{align*} \sup (a) +\sup (b) \geq a+b \end{align*}$ sei nun $\begin{align*} c:=a+b \end{align*}$ so gilt für c: $\begin{align*} \sup(c) \geq c \end{align*}$ somit wiederum $\begin{align*} \sup (a+b) \geq a+b \end{align*}$ , was die Abschätzung $\begin{align*} \sup (a) + \sup (b) \geq \sup (a+b) \geq a+b \end{align*}$ erlaubt.

Okay, das ergibt Sinn, ist ja auch $\begin{align*} 0 \notin M \end{align*}$ . Aber wie zeige ich das denn? :/

09.12.2015, 20:41

10001000Nick1

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Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie all ihre Häufungspunkte enthält.

Du könntest also erstmal zeigen, dass $\begin{eqnarray*} M\cup\{0\} \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist. Und wegen $\begin{eqnarray*} M\subseteq M\cup\{0\} \end{eqnarray*}$ ist jeder Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ auch ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} M\cup\{0\} \end{eqnarray*}$ .

Als Häufungspunkte von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ kommen also (außer 0) nur noch die Punkte $\begin{eqnarray*} \frac 1n \end{eqnarray*}$ in Frage. Um diese Punkte auszuschließen, kannst du jeweils ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ angeben, sodass in der $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung kein weiterer Punkt aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt.

10.12.2015, 04:13

Rbn

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Okay, danke sehr für die Tipps! Hier der Versuch des Beweises:

$\begin{align*} \exists \epsilon >0 \ \land n \in \mathbb{N} \ \land m \in M \land M:=\{ \frac {1}{n} | n\in \mathbb{N} \} \end{align*}$

Zeige, dass $\begin{align*} M \cup \{0\} \end{align*}$ abgeschlossen ist:
$\begin{align*} m \leq 1 \\ \frac{1}{n} \leq 1 \| \cdot n \ (n\in \mathbb{N} => n>0) \\ 1\leq n \end{align*}$

Kleinstes mögliches n ist 1, da $\begin{align*} n \in \mathbb{N} \end{align*}$ : $\begin{align*} \frac{1}{1}=1\\ \sup(M)=1 \end{align*}$
Kleinster möglicher Wert für m:
$\begin{align*} m>0 \\ \frac{1}{n} >0 \|\cdot n \ (n\in \mathbb{N} => n>0) \\ <br /> 1>0 \end{align*}$
Es folgt: $\begin{align*} \inf(M)=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} 0<m \leq 1 \end{align*}$
Der Randpunkt 0 ist $\begin{align*} \notin M \end{align*}$ . $\begin{align*} M \cup \{0\} \end{align*}$ enthält den Punkt 0 und es gilt $\begin{align*} M \subset M\cup \{0\} \end{align*}$ . Da $\begin{align*} M\cup \{0\} \end{align*}$ alle Randpunkte enthält, ist die Menge abgeschlossen.
Wegen $\begin{align*} M \subset M\cup \{0\} \end{align*}$ enthält die Menge $\begin{align*} M \cup \{0\} \end{align*}$ alle Häufungspunkte von M.
Wegen $\begin{align*} \lim \limits_{n \to \infty} \inf M =0 \in M\cup \{0\} \end{align*}$ ist 0 ein Häufungspunkt der beiden Mengen und ist in $\begin{align*} M\cup \{0\} \end{align*}$ enthalten.

Alle anderen Punkte von M sind keine HP. Beweis:
$\begin{align*} m< \epsilon \ |\ \cdot n \ (n>0) \| :\epsilon \ (\epsilon >0) \\ <br /> \frac{1}{\epsilon}<n \end{align*}$
Für ein beliebiges n, kann $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ also so gewählt werden, dass die Ungleichung gilt, wodurch kein andere Punkt in der Menge M sie erfüllt. Somit existiert kein anderer HP.

Damit wäre das gezeigt. Wie steht es denn mit der letzten Aufgabe? Da ist mir die Logik klar, aber das ist in meinen Augen ein Definitionsbeweis :/

10.12.2015, 18:54

10001000Nick1

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So wirklich verstehe ich nicht, was du da machen willst. verwirrt

verwirrt

Was soll z.B. dieses $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ sein?

Hier mal eine Idee, wie man das machen könnte: $\begin{eqnarray*} M\cup\{0\} \end{eqnarray*}$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2\setminus(M\cup\{0\}) \end{eqnarray*}$ offen ist; falls also zu jedem $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R^2\setminus(M\cup\{0\}) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray*} (a-\varepsilon, a+\varepsilon)\subseteq \mathbb R^2\setminus(M\cup\{0\}) \end{eqnarray*}$ .
Versuche, zu jedem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein solches $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ explizit anzugeben (dazu ist eine Fallunterscheidung in $\begin{eqnarray*} a<0, 0<a<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$ hilfreich).

12.12.2015, 21:27

Rbn

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$\begin{align*} m \end{align*}$ ist ein Element der Menge $\begin{align*} M \end{align*}$ mit $\begin{align*} M=\{\frac{1}{n}|n \in \mathbb{N}\} \end{align*}$ .

Okay, ich versuch es mal so, wie du es vorschlägst smile

smile

Aber frage am Rande: Wofür genau steht die ,,hoch zwei" bei den reellen Zahlen?
Wenn $\begin{align*} M \cup \{0\} \end{align*}$ abgeschlossen ist, dann ist die Menge $\begin{align*} \mathbb{R}^2 \diagdown (M \cup \{0\}) \end{align*}$ offen.
Dies ist dann gegeben, wenn es zu jedem $\begin{align*} a \in \mathbb{R}^2 \diagdown (M \cup \{0\}) \end{align*}$ ein $\begin{align*} \epsilon >0 \end{align*}$ gibt, sodass $\begin{align*} (a-\epsilon , a+ \epsilon ) \subseteq \mathbb{R}^2 \diagdown (M \cup \{0\}) \end{align*}$ ist.

Für $\begin{align*} a<0 \end{align*}$ :

$\begin{align*} \forall a<0 \exists \epsilon >0: (a-\epsilon , a+ \epsilon ) \subseteq \mathbb{R}^2 \diagdown (M \cup \{0\}) \end{align*}$ Dies ist der Fall, wenn $\begin{align*} \epsilon< |a| \end{align*}$ ist.

Für $\begin{align*} 0<a<1 \end{align*}$ :

$\begin{align*} \forall a \in (0,1) \exists \epsilon >0: (a-\epsilon , a+ \epsilon ) \subseteq \mathbb{R}^2 \diagdown (M \cup \{0\}) \end{align*}$ Dies ist der Fall, wenn $\begin{align*} \epsilon+a>1 \ \land \ a- \epsilon <0 \end{align*}$ ist. Also muss $\begin{align*} \epsilon >1 \end{align*}$ sein .
Für $\begin{align*} a>0 \end{align*}$ :

$\begin{align*} \forall a>0 \exists \epsilon >0: (a-\epsilon , a+ \epsilon ) \subseteq \mathbb{R}^2 \diagdown (M \cup \{0\}) \end{align*}$ Dies ist der Fall, wenn $\begin{align*} \epsilon< a \end{align*}$ ist.

Passt das so? Wieso genau zeige ich damit, dass die komplementärmenge zu M abgeschlossen ist?

13.12.2015, 20:37

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Rbn
Aber frage am Rande: Wofür genau steht die ,,hoch zwei" bei den reellen Zahlen?

Ups, was habe ich denn da gemacht? Hammer

Hammer

Es muss natürlich überall $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ heißen (auch in deinem Beitrag; du musst mir ja nicht jeden Unsinn nachmachen. Big Laugh

Big Laugh

).

Der Fall $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ ist richtig, die anderen beiden leider nicht.

Zu dem Fall $\begin{eqnarray*} a\in(0,1) \end{eqnarray*}$ : Wenn du irgendein passendes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gefunden hast, dann passt doch offensichtlich auch jedes kleinere $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ (weil dann das Intervall $\begin{eqnarray*} (a-\varepsilon, a+\varepsilon) \end{eqnarray*}$ kleiner wird); d.h. das hier:

Zitat:

Original von Rbn
Also muss $\begin{align*} \epsilon >1 \end{align*}$ sein.

kann auf jeden Fall nicht stimmen.

Eine Idee, wie ich das machen würde: Für jedes $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R\setminus(M\cup\{0\}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in(0,1) \end{eqnarray*}$ gibt es ein eindeutiges $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} a\in(\frac 1{n+1}, \frac 1n) \end{eqnarray*}$ . Wähle $\begin{eqnarray*} \varepsilon:=\min(|a-\frac 1n|, |a-\frac 1{n+1}|) \end{eqnarray*}$ .

Für den letzten Fall (sollte da $\begin{eqnarray*} a>\textcolor{red}{1} \end{eqnarray*}$ stehen?) kannst du z.B. $\begin{eqnarray*} \varepsilon:=a-1 \end{eqnarray*}$ nehmen.

Zitat:

Original von Rbn
Wieso genau zeige ich damit, dass die komplementärmenge zu M abgeschlossen ist?

Wer hat denn das behauptet?

13.12.2015, 21:17

Rbn

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Ich dachte das wäre einfach ein vorgreifen der Schreibweise smile

smile

Aber ja, muss ich natürlich nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zuerst zum letzten Fall:
Logisch. Doof von mir. Für $\begin{align*} a>1 \end{align*}$ ist notwenig, dass $\begin{align*} a- \epsilon >1 \end{align*}$ ist. Dies ist dann der Fall, wenn $\begin{align*} a-1> \epsilon \end{align*}$ ist.

Wegen des anderen Falls:
Nach etwas anstarren des ganzen glaube ich, dass ich es nun verstanden habe, wieso das geht. Jedoch glaube ich, dass der Teil

Zitat:

Original von 10001000Nick1 $\begin{eqnarray*} a\in(\frac 1{n+1}, \frac 1n) \end{eqnarray*}$

ein geschlossenes Intervall sein muss, weil a ja auch den Wert von $\begin{align*} \frac{1}{n} \end{align*}$ annehmen kann. Jedoch muss ich zu meiner Schande gestehen, dass ich auf diese Lösung niemals kommen würde unglücklich

unglücklich

Ist ausserdem nicht

Zitat:

Original von 10001000Nick1 $\begin{eqnarray*} \epsilon := min(|a-\frac{1}{n}|, |a-\frac{1}{n+1}|) \end{eqnarray*}$

das Epsilon immer $\begin{align*} =|a-\frac{1}{n}| \end{align*}$ ? Weil ja $\begin{align*} a-\frac{1}{n}< a-\frac{1}{n+1} \end{align*}$ ist?

Zitat:

Original von 10001000Nick1

Wer hat denn das behauptet?

Direkt niemand. Aber $\begin{align*} \mathbb{R}\diagdown M \cup \{0\} \end{align*}$ ist doch die Komplemementärmenge zu M oder? Deswegen weiß ich nicht recht, wieso wir dadurch zeigen, dass M abgeschlossen ist bzw. dass das Komplement nicht abgeschlossen ist.

P.S.: Dir schonmal einen Herzlichen Dank für deine Geduld mit mir :/

13.12.2015, 21:31

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Rbn
Jedoch glaube ich, dass der Teil

Zitat:

Original von 10001000Nick1 $\begin{eqnarray*} a\in(\frac 1{n+1}, \frac 1n) \end{eqnarray*}$

ein geschlossenes Intervall sein muss, weil a ja auch den Wert von $\begin{align*} \frac{1}{n} \end{align*}$ annehmen kann.

Nein; $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ soll im Komplement von $\begin{eqnarray*} M\cup \{0\} \end{eqnarray*}$ liegen, kann also keinen Wert aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ annehmen.

Zitat:

Original von Rbn
Jedoch muss ich zu meiner Schande gestehen, dass ich auf diese Lösung niemals kommen würde unglücklich

unglücklich

Das ist keine Schande. Vielleicht hilft es dir, wenn du dir die Menge $\begin{eqnarray*} M\cup\{0\} \end{eqnarray*}$ mal an einem Zahlenstrahl veranschaulichst; dann siehst du besser, für welches $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R\setminus(M\cup\{0\}) \end{eqnarray*}$ du welches $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ nehmen kannst.

Zitat:

Original von Rbn
Ist ausserdem nicht

Zitat:

Original von 10001000Nick1 $\begin{eqnarray*} \epsilon := min(|a-\frac{1}{n}|, |a-\frac{1}{n+1}|) \end{eqnarray*}$

das Epsilon immer $\begin{align*} =|a-\frac{1}{n}| \end{align*}$ ? Weil ja $\begin{align*} a-\frac{1}{n}< a-\frac{1}{n+1} \end{align*}$ ist?

Die Betragsstriche stehen da nicht zum Spaß. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Rbn

Zitat:

Original von 10001000Nick1

Wer hat denn das behauptet?

Direkt niemand. Aber $\begin{align*} \mathbb{R}\diagdown M \cup \{0\} \end{align*}$ ist doch die Komplemementärmenge zu M oder? Deswegen weiß ich nicht recht, wieso wir dadurch zeigen, dass M abgeschlossen ist bzw. dass das Komplement nicht abgeschlossen ist.

$\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus(M\cup\{0\}) \end{eqnarray*}$ ist das Komplement von $\begin{eqnarray*} M\cup\{0\} \end{eqnarray*}$ . Wir haben gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus(M\cup\{0\}) \end{eqnarray*}$ offen ist. Und abgeschlossene Mengen sind per Definition die Komplemente offener Mengen. Also ist $\begin{eqnarray*} M\cup\{0\} \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ( $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist nicht abgeschlossen).

13.12.2015, 21:52

Rbn

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Danke! Das hat mir gefehlt! Ich hab etwas auf dem Schlauch gestanden, weil ich verdrängt habe, dass zwischen zwei Elementen der Menge M noch andere Zahlen sind. So liegen ja z.B. zwischen $\begin{align*} \frac{1}{2} \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{1}{3} \end{align*}$ noch unendlich viele Zahlen. Das klärt meine Frage, wieso es dort ein Intervall geben kann Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

In Zukunft werde ich mir bei sowas immer einen Zahlenstrahl machen, bevor ich nochmal so sehr auf dem Schlauch stehe..

Okay, d.h. das Minimum der beiden Elemente eignet sich als Intervallgrenze, weil man dann das Intervall nicht verlässt und die Menge $\begin{align*} M \cup \{0\} \end{align*}$ "umrandet". Man wählt also das kleinstmögliche $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ um die Intervalle so nah wie möglich an die Elemente der Menge $\begin{align*} M \cup \{0\} \end{align*}$ zu bringen.

Da ist es daran gescheitert, dass ich die mathematisch exakte Sprache noch nicht drauf habe. Aber genau das, was du schriebst meinte ich, nur dass ich nicht wusste, dass das Definitionsgemäß so ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie steht es denn um den Beweis der Aufgabe mit den Bedingungen, dass HP´s existieren? Da habe ich leider keine formal brauchbare Idee :/

13.12.2015, 22:09

10001000Nick1

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RE: Häufungspunkte
Hier nochmal die Aufgabe (damit ich nicht immer zum allerersten Beitrag zurückscrollen muss Augenzwinkern

Augenzwinkern

):

Zitat:

Original von Rbn
Beweisen sie:
$\begin{align*} x \in \mathbb{R} \end{align*}$ ist genau dann der $\begin{align*} \lim \sup \end{align*}$ der Folge $\begin{align*} x_n \end{align*}$ , wenn $\begin{align*} \forall \epsilon >0 \end{align*}$ die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
a) $\begin{align*} \exists \end{align*}$ unendlich viele n, für die gilt $\begin{align*} x_n > x- \epsilon \end{align*}$
b) $\begin{align*} \exists \end{align*}$ nur endlich viele n, für die gilt $\begin{align*} x_n > x+ \epsilon \end{align*}$

Für die Richtung $\begin{eqnarray*} x=\limsup_{n\to\infty} x_n \Rightarrow (a) \text{ und } (b) \end{eqnarray*}$ :

Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} x=\lim_{n\to\infty} \sup\{x_k\mid k\geq n\} \end{eqnarray*}$ . Schreib dir mal die Definition von Konvergenz auf, was es bedeutet, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (\sup\{x_k\mid k\geq n\})_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert; und dann überleg' mal, ob du damit weiterkommst. smile

smile

13.12.2015, 22:23

Rbn

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Die Definition von Konvergenz einer Folge war ja:" Eine Folge konvergiert gegen eine Zahl $\begin{align*} a \in \mathbb{R} \end{align*}$ , falls $\begin{align*} \forall \epsilon >0 \end{align*}$ in dem Intervall $\begin{align*} (a+\epsilon , a- \epsilon ) \end{align*}$ unendlich viele Folgeglieder liegen und nur endlich viele außerhalb. "

Somit bedeutet es, wenn die Folge $\begin{align*} ( sup\{x_k|k\geq n\} )_{n \in \mathbb{N}} \end{align*}$ gegen x konvergiert, dass nirgends über x unendlich viele Folgenglieder( in einem Intervall mit $\begin{align*} ( x+ \epsilon , x- \epsilon) \ \forall \epsilon>0 \end{align*}$ ) liegen, was ja b entspricht.
Da $\begin{align*} x \end{align*}$ aber definitiv über der unteren Grenze des Intervalls $\begin{align*} ( x+ \epsilon , x- \epsilon) \end{align*}$ liegt, müssen oberhalb von $\begin{align*} x- \epsilon \end{align*}$ unendlich viele Glieder von $\begin{align*} x_n \end{align*}$ existieren, was ja a entspräche. Richtig soweit?

13.12.2015, 22:49

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Rbn
Somit bedeutet es, wenn die Folge $\begin{align*} ( sup\{x_k|k\geq n\} )_{n \in \mathbb{N}} \end{align*}$ gegen x konvergiert, dass nirgends über x unendlich viele Folgenglieder( in einem Intervall mit $\begin{align*} ( x+ \epsilon , x- \epsilon) \ \forall \epsilon>0 \end{align*}$ ) liegen, was ja b entspricht.

Vielleicht meinst du das Richtige; die Formulierung ist jedenfalls etwas unglücklich.
Es können unendlich viele Folgenglieder größer als $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sein; entscheidend ist, dass in $\begin{eqnarray*} b) \end{eqnarray*}$ steht "... $\begin{eqnarray*} x_n>x\textcolor{red}{+\varepsilon} \end{eqnarray*}$ ". Das solltest du genau begründen.
Außerdem meintest du sicherlich $\begin{eqnarray*} (x-\varepsilon, x+\varepsilon) \end{eqnarray*}$ ; das Intervall $\begin{eqnarray*} (x+\varepsilon, x-\varepsilon) \end{eqnarray*}$ ist leer. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Rbn
Da $\begin{align*} x \end{align*}$ aber definitiv über der unteren Grenze des Intervalls $\begin{align*} ( x+ \epsilon , x- \epsilon) \end{align*}$ liegt, müssen oberhalb von $\begin{align*} x- \epsilon \end{align*}$ unendlich viele Glieder von $\begin{align*} x_n \end{align*}$ existieren, was ja a entspräche.

Das könnte man vielleicht auch noch genauer begründen. Z.B. so: Angenommen, es gäbe nur endlich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n>x-\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Also gibt es auch ein größtes solches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Für jedes größere $\begin{eqnarray*} \tilde n \end{eqnarray*}$ ist dann aber $\begin{eqnarray*} \sup\{x_k\mid k\geq \tilde n\}\leq x-\varepsilon \end{eqnarray*}$ , was der Voraussetzung widerspricht.

13.12.2015, 23:06

Rbn

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Okay, ich Versuche es etwas genauer zu formulieren:

Wenn endlich viele Folgenglieder $\begin{align*} x_n \end{align*}$ größer sind als $\begin{align*} x+ \epsilon \end{align*}$ , wobei x der $\begin{align*} \lim \limits_{n\to \infty}\sup x_n \end{align*}$ sei und $\begin{align*} \epsilon \in \mathbb{R} \ \land \epsilon >0 \end{align*}$ aber beliebig klein sei, folgt daraus, dass keinen Häufungspunkt a gibt, für den gilt $\begin{align*} a>x \end{align*}$ . Und obwohl $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ beliebig klein werden kann, gibt es $\begin{align*} \forall \epsilon >0 \end{align*}$ niemals unendlich viele Folgenglieder oberhalb von x.

Wenn es aber doch nur endlich viele n mit $\begin{align*} x_n > x- \epsilon \end{align*}$ gibt, kann x kein HP sein.

Sicher meinte ich das Intervall. Ist schon spät :/

13.12.2015, 23:23

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Rbn
Ist schon spät :/

Genau; vielleicht ist es deswegen auch besser, wir hören für heute auf und du schläfst nochmal 'ne Nacht drüber (was ich auch bald machen werde). Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich verstehe nicht ganz, was du geschrieben hast.
Bist du immer noch bei der Richtung $\begin{eqnarray*} x=\limsup_{n\to\infty} x_n \Rightarrow (a) \text{ und } (b) \end{eqnarray*}$ ? Dann würde schon dieser Satzanfang

Zitat:

Original von Rbn
Wenn endlich viele Folgenglieder $\begin{align*} x_n \end{align*}$ größer sind als $\begin{align*} x+ \epsilon \end{align*}$ , wobei x der $\begin{align*} \lim \limits_{n\to \infty} \sup x_n \end{align*}$ sei ...

nicht funktionieren; denn dann würdest du ja (b) voraussetzen.

Außerdem bin ich bis jetzt von der Definition ausgegangen, die du in deinem zweiten Beitrag geschrieben hast. Dass $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} x_n \end{eqnarray*}$ wirklich der größte Häufungspunkt der Menge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist, muss man ja erst noch zeigen (oder habt ihr das in der Vorlesung schon gemacht?).

Meld' dich dann morgen einfach wieder. smile

smile

14.12.2015, 20:53

Rbn

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Stimmt, da habe ich wohl das falsche impliziert.
Also versuche ich es nochmal, diesmal andersherum Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn $\begin{align*} x \in \mathbb {R} \end{align*}$ der $\begin{align*} \lim \limits_{x \to \infty} \sup \end{align*}$ der Folge $\begin{align*} (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{align*}$ ist, dann dürfen nicht unendlich viele Folgenglieder $\begin{align*} x_n \end{align*}$ oberhalb von $\begin{align*} (x + \epsilon) \end{align*}$ liegen, wobei $\begin{align*} \epsilon>0 \end{align*}$ beliebig klein sei , sondern nur endlich viele Folgengleider (b).

Weitergehend hatten wir in der Vorlesung nur, dass wenn der Limes superior ungleich dem Limes inferior ist, dass es sich dann nicht um einen Grenzwert, sondern um einen Häufungspunkt handelt.

Wenn der $\begin{align*} \lim \limits_{x \to \infty} \sup \end{align*}$ existiert und gleich x ist, dann folgt daraus, dass unendlich viele Folgenglieder $\begin{align*} x_n \end{align*}$ größer als $\begin{align*} (x- \epsilon ) \end{align*}$ sein müssen, wobei $\begin{align*} \epsilon > 0 \end{align*}$ beliebig klein gewählt werden kann.

14.12.2015, 21:14

10001000Nick1

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Naja, jetzt hast du eigentlich nur die Behauptung hingeschrieben, aber keine Begründung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für a) hatte ich dir hier schon geschrieben, wie man das machen könnte. Ist dir klar, warum das so funktioniert? Wenn nicht, dann frag ruhig. smile

smile

Aussage b) könnte man so zeigen: Gäbe es unendlich viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n>x+\varepsilon \end{eqnarray*}$ , dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} \sup\{x_k\mid k\geq n\}>x+\varepsilon \end{eqnarray*}$ ; im Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} x=\lim_{n\to\infty} \sup\{x_k\mid k\geq n\} \end{eqnarray*}$ .
(Das ist erstmal nur knapp formuliert die Beweisidee; das solltest du noch etwas ausführlicher begründen.)

14.12.2015, 22:04

Rbn

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Ja, das stimmt. Fällt mir nicht wirklich leicht zu trennen, was durch die Definition geg. ist und was noch zu zeigen ist :/ Da bin ich fast froh Mathe in aller formaler strenge nur bis einschließlich zum 4. Semester zu haben unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Z.B. so: Angenommen, es gäbe nur endlich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n>x-\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Also gibt es auch ein größtes solches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Für jedes größere $\begin{eqnarray*} \tilde n \end{eqnarray*}$ ist dann aber $\begin{eqnarray*} \sup\{x_k\mid k\geq \tilde n\}\leq x-\varepsilon \end{eqnarray*}$ , was der Voraussetzung widerspricht.

Ich versuche es mal ,,aufzudröseln":
Zu a) wenn es nur endlich viele n gäbe, für die gilt, dassopn x_n>x-\epsilon [/mathjax] ist, dann existiert ein Supremum, für dass die die Ungleichung $\begin{align*} \sup\{x_k|k\geq m\}\leq x-\epsilon \end{align*}$ erfüllt ist. (m sei n Tilde. Weiß leider nicht, wie ich das n Tilde in LaTeX schreibe Augenzwinkern

Augenzwinkern

) Bis dahin ist mir das soweit klar. Aber wieso genau widerspricht das der Voraussetzung? Weil $\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ geht?

Zu b) Annahme sei also, dass es doch unendlich viele n gäbe, sodass $\begin{align*} x_n > x+ \epsilon \end{align*}$ ist. Dann gilt aber doch (möglicherweise) die Aussage doch erst, wenn die Folge wirklich echt größer ist, oder? Ich meine sie könnte ja für ein bestimmtes n vorher noch kleiner als $\begin{align*} x+ \epsilon \end{align*}$ sein, auch wenn darunter nur endlich viele sein mögen. Also $\begin{align*} n\geq k \end{align*}$ , oder doch für alle n? Aber ansonsten verstehe ich diesen Widerspruch.

15.12.2015, 12:17

10001000Nick1

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Zum ersten Teil: Wir definieren $\begin{eqnarray*} n_0:=\max\{n\in\mathbb N\mid x_n>x-\varepsilon\} \end{eqnarray*}$ (dieses Maximum existiert, weil wir angenommen hatten, dass nur endlich viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in der Menge enthalten sind).
Dieses $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ist das, was ich oben mit "das größte solche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ..." bezeichnet habe.

Ist jetzt $\begin{eqnarray*} \tilde n>n_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k\geq \tilde n \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x_k\leq x-\varepsilon \end{eqnarray*}$ (das sieht man an der Definition von $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ). Und damit muss auch $\begin{eqnarray*} \sup\{x_k\mid k\geq \tilde n\}\leq x-\varepsilon \end{eqnarray*}$ sein.

Und das ist nun ein Widerspruch, weil $\begin{eqnarray*} x:=\lim_{n\to\infty} \sup\{x_k\mid k\geq n\} \end{eqnarray*}$ definiert war. Wenn für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} \sup\{x_k\mid k\geq n\}\leq x-\varepsilon \end{eqnarray*}$ , dann kann es nur endlich viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ geben, für die gilt: $\begin{eqnarray*} \sup\{x_k\mid k\geq n\}\in(x-\varepsilon, x+\varepsilon) \end{eqnarray*}$ (nämlich höchstens die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , die kleiner/gleich $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ sind).

Alles klar? smile

smile

Übrigens: $\begin{eqnarray*} \tilde n \end{eqnarray*}$ erzeugst du mit dem LATEX-Code \tilde{n}. Aber letztendlich ist es auch egal, ob du die Variable $\begin{eqnarray*} \tilde{n} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \text{Horst} \end{eqnarray*}$ oder sonstwie nennst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.12.2015, 21:09

Rbn

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Okay, das verstehe ich und ich erkenne den Widerspruch, aber wieder muss ich sagen: Da würde ich im Leben nicht drauf kommen!

Die Variable Horst gefällt mir nebenbei bemerkt sehr!
Dann danke ich dir ganz herzlich Nick!

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