Verallgemeinerte Hölder Ungleichung

08.12.2015, 09:13	zFABU	Auf diesen Beitrag antworten »
Verallgemeinerte Hölder Ungleichung Hallo Kennt jemand eine Version der Hölder Ungleichung die folgendermaßen aussieht: Sei $\begin{eqnarray} $X$ \end{eqnarray}$ Banachraum o.ä., $\begin{eqnarray} 1\leq p, p'\leq \infty \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=\frac{1}{q} \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} $f$ \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} $L^p(X)$ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} $g$ \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} $L^{p'}(X)$ \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} $f\cdot g\in L^q(X)$ \end{eqnarray}$ und es gilt $\begin{eqnarray} $ \|\|f\cdot g\|\|_q\leq\|\|f\|\|_p\|\|g\|\|_{p'} $ \end{eqnarray}$ .
08.12.2015, 09:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch eine einfache Folgerung aus der normalen Hölder-Ungleichung: $\begin{align} f\cdot g\in L^q \end{align}$ ist äquivalent zu $\begin{align} \|f\|^q\cdot \|g\|^q \in L^1 \end{align}$ . Aus der Voraussetzung kann man ja $\begin{align} \|f\|^q \in L^{\frac{p}{q}} \end{align}$ und $\begin{align} \|g\|^q \in L^{\frac{p'}{q}} \end{align}$ folgern, und für die Kehrwerte dieser Exponenten gilt ja dann $\begin{align} \frac{q}{p} + \frac{q}{p'} = 1 \end{align}$ , also "greift" Normal-Hölder. P.S.: Zugegeben, das ganze klappt so nur für $\begin{align} q<\infty \end{align}$ , d.h. der Fall $\begin{align} q=\infty \end{align}$ wäre noch extra zu untersuchen.

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