Mittelpunktregel

08.12.2015, 11:25

Rivago

Mittelpunktregel

Bestimmen Sie mit Hilfe der Mittelpunktregel die Näherung für die Lösung der Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} y' = -\frac{2xy^2}{x^2 + 1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y(0) = 2 \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} I = \left[ 0;3\right] \end{eqnarray*}$ mit der Schrittweite $\begin{eqnarray*} h = 0,1 \end{eqnarray*}$

Ich habe im Skript $\begin{eqnarray*} u_{k + 1} = u_k + h \cdot f\left( t_k + \frac{h}{2}, u_k + \frac{h}{2} \cdot f(t_k, u_k) \right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u_0 = y_0 \end{eqnarray*}$

Entsprechend Verfahren von Heun habe ich es so umgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} y_{k + 1} = y_k + h \cdot f\left( x_k + \frac{h}{2}, y_k + \frac{h}{2} \cdot f(x_k, y_k) \right) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} k = 0 \end{eqnarray*}$ folgt dann

$\begin{eqnarray*} y_1 = y_0 + h \cdot f\left(x_1, \hat y_1 \right) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x_1 = x_0 + \frac{h}{2} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \hat y_1 = y_0 + \frac{h}{2} \cdot f(x_0, y_0) \end{eqnarray*}$

Rechne ich das so aus, dann erhalte ich als Lösung $\begin{eqnarray*} y_1 = 1,960099751 \end{eqnarray*}$ und das stimmt auch mit der Lösung überein.

Jetzt folgt Schritt 2.

$\begin{eqnarray*} y_2 = y_1 + h \cdot f\left(x_2, \hat y_2 \right) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x_2 = x_1 + \frac{h}{2} = 0,1 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \hat y_2 = y_1 + \frac{h}{2} \cdot f(x_1, y_1) = 1,940937749 \end{eqnarray*}$

Somit folgt für y2 dann $\begin{eqnarray*} y_2 = 1,885500956 \end{eqnarray*}$

Aber das ist falsch unglücklich

Lösung soll sein $\begin{eqnarray*} y_2 = 1.8517091 \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand sagen was ich da falsch mache?

08.12.2015, 22:01

Rivago

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Nochmal anstupsen smile

Numerik scheint nicht so sehr belaufen zu sein ^^

09.12.2015, 00:01

Dopap

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ja, da frag doch mal deinen zuständigen Moderator Math1986 verwirrt

Die Mittelpunktsregel ist immer noch ein 2- Schritt-Verfahren.
Demnach ist immer noch $\begin{eqnarray*} x_{k+1}=x_k + h \end{eqnarray*}$

also ist $\begin{eqnarray*} x_2=x_1+h=x_0 +2h=0.2 \end{eqnarray*}$ !!! Das ist der Fehler.

mach dir doch mal in Bild des Verfahrens:

Vom linken aktuellen Punkt $\begin{eqnarray*} P(x_k,y_k) \end{eqnarray*}$ gehst du mit der Steigung $\begin{eqnarray*} m_1=f(x_k,y_k) \end{eqnarray*}$ um
$\begin{eqnarray*} \tfrac 12 h \end{eqnarray*}$ bis zur Mittellinie des Intervalls = Punkt Q. in Q bestimmst du die neue Steigung = $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$
Diese Steigung $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ legst nun wieder in P an, bis zum Intervallende = Endpunkt $\begin{eqnarray*} R(x_{k+1}, y_{k+1}) \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt etwas umgangssprachlich formuliert, dafür aber sehr bildhaft.

Zeichne dir mal so einen Streifen. Augenzwinkern

09.12.2015, 12:48

Rivago

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RE: Mittelpunktregel
Ich versteh es nicht so richtig..

Es ist doch $\begin{eqnarray*} y_{k + 1} = y_k + h \cdot f\left(\underbrace{ x_k + \frac{h}{2}}_{= x_{k + 1}}, y_k + \frac{h}{2} \cdot f(x_k, y_k) \right) \end{eqnarray*}$

Somit folgt doch für $\begin{eqnarray*} k = 0 \rightarrow x_1 = x_0 + \frac{h}{2} = 0,05 \end{eqnarray*}$

Dann für $\begin{eqnarray*} k = 1 \rightarrow x_2 = x_1 + \frac{h}{2} = 0,05 + 0,05 = 0,1 \end{eqnarray*}$

Wieso aber schreibst du jetzt $\begin{eqnarray*} x_2 = x_0 + 2h \end{eqnarray*}$

verwirrt

Mit $\begin{eqnarray*} x_2 = 0,2 \end{eqnarray*}$ folgt dann als Ergebnis $\begin{eqnarray*} y_2 = 1,81520593 \end{eqnarray*}$

Und das stimmt ja auch nicht ganz unglücklich

09.12.2015, 14:57

Dopap

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Intervallmitte

Zitat:

$\begin{align*} y_{k + 1} = y_k + h \cdot f\left(\underbrace{ x_k + \tfrac{h}{2}}_{= \hat x_{k + 1}} ~,~ y_k + \tfrac{h}{2} \cdot f(x_k, y_k) \right) \end{align*}$

Du gibst der Intervallmitte den Namen $\begin{eqnarray*} x_{k+1} \end{eqnarray*}$ .Das ist aber nicht die Konvention.

Denn $\begin{eqnarray*} x_{k+1} \end{eqnarray*}$ wird ja im Intervall im Endpunkt $\begin{eqnarray*} R(x_{k+1},y_{k+1}) \end{eqnarray*}$ benötigt !

Wenn du unbedingt einen Bezesichner für die Intervallmitte brauchst, kannst du ja $\begin{eqnarray*} \hat x_{k + 1} \end{eqnarray*}$ verwenden. (Was mir aber nicht gefällt - Warum? )

Und dann hätten wir im Gleichklang:

$\begin{eqnarray*} P(x_{k},y_{k}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Q(\hat x_{k+1},\hat y_{k+1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R(x_{k+1},y_{k+1}) \end{eqnarray*}$

09.12.2015, 18:00

Rivago

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RE: Mittelpunktregel
Dummerweise blick ich immer noch nicht durch verwirrt

Das hier stimmt:

$\begin{eqnarray*} y_{k + 1} = y_k + h \cdot f\left( x_k + \frac{h}{2}, \underbrace{y_k + \frac{h}{2} \cdot f(x_k, y_k)}_{= \hat y_{k + 1}} \right) \end{eqnarray*}$

Und das hier auch noch:

Für $\begin{eqnarray*} k = 0 \end{eqnarray*}$ folgt dann

$\begin{eqnarray*} y_1 = y_0 + h \cdot f\left(x_1, \hat y_1 \right) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x_1 = x_0 + \frac{h}{2} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \hat y_1 = y_0 + \frac{h}{2} \cdot f(x_0, y_0) \end{eqnarray*}$

Rechne ich das so aus, dann erhalte ich als Lösung $\begin{eqnarray*} y_1 = 1,960099751 \end{eqnarray*}$ und das stimmt auch mit der Lösung überein.

Und jetzt wird es falsch..

$\begin{eqnarray*} y_2 = y_1 + h \cdot f\left(x_2, \hat y_2 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ haben wir im vorherigen Schritt berechnet.

h ist gegeben.

Jetzt brauchen wir noch $\begin{eqnarray*} f\left(x_2, \hat y_2 \right) \end{eqnarray*}$

Somit also $\begin{eqnarray*} x_2 = ??? \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \hat y_2 = y_1 + \frac{h}{2} \cdot f(x_1, y_1) \end{eqnarray*}$

So passt es doch, oder?

09.12.2015, 21:02

Dopap

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RE: Mittelpunktregel

Zitat:

Original von Rivago
Dummerweise blick ich immer noch nicht durch verwirrt

falsch , diese Mittelpunktsstelle wollten wir nicht benennen.

Zitat:

und $\begin{eqnarray*} \hat y_1 = y_0 + \frac{h}{2} \cdot f(x_0, y_0) \end{eqnarray*}$

Rechne ich das so aus, dann erhalte ich als Lösung $\begin{eqnarray*} y_1 = 1,960099751 \end{eqnarray*}$ und das stimmt auch mit der Lösung überein.

das liegt daran, dass das falsche x1 (nach Konvention ! ) in obiger Formel noch zufällig stimmt

Zitat:

Und jetzt wird es falsch.

logisch, denn $\begin{eqnarray*} x_1=x_0+h \end{eqnarray*}$ sollte im 2. Intervall der Linke Rand sein und nicht die Mittellinie des ersten Schrittes.

Du hast eben nicht meine Streifen gemalt.

$\begin{eqnarray*} P(x_{k},y_{k}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Q( x_{k}+\tfrac h2~,~\hat y_{k+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R(x_{k+1}~,~y_{k+1})=R(x_k+\ h ~,~y_{k+1}) \end{eqnarray*}$

09.12.2015, 21:30

Rivago

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RE: Mittelpunktregel

Zitat:

Original von Dopap
Du hast eben nicht meine Streifen gemalt.

$\begin{eqnarray*} P(x_{k},y_{k}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Q( x_{k}+\tfrac h2~,~\hat y_{k+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R(x_{k+1}~,~y_{k+1})=R(x_k+\ h ~,~y_{k+1}) \end{eqnarray*}$

Weil ich nicht versteh was du hiermit meinst verwirrt

Ich komm schon mit x, y und k durcheinander und jetzt auch noch P, Q und R unglücklich

09.12.2015, 21:46

Dopap

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Ein Streifen = ein Intervall mit den Geraden x=a, x=m , x= b

mit b-a =h, m=(b-a)/2

P ist Startpunkt auf x=a . Lege Tangente In P an. Diese schneidet Mittellinie x=m in Q.

bestimme die Tangente in Q. Paralleltangente durch P schneidet x=b in R = Endpunkt.

uff

09.12.2015, 22:02

Rivago

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Hmm.. ich versuch ich morgen dran, glaube aber nicht das es was wird verwirrt

So ein Müll, ehrlich böse

"Rechenknechterei" würde mein ehemaliger Mathelehrer sagen unglücklich

09.12.2015, 22:11

Dopap

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Ich habe oben korrigiert, senkrechte Geraden fangen mit x=... an.

Ja, und früher ? Da haben die Leute Streifen für Streifen für Streifen mit der Hand gerechnet.
Mit LOG-Tafeln oder Rechenschieber geschockt

13.12.2015, 18:39

Rivago

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Hallo Dopap, es hat sich inzwischen erledigt, kommt nicht in der Klausur dran Gott

Danke trotzdem für deine Mühe Wink

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