Schwerpunkt Rotationskörper

08.12.2015, 12:05	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunkt Rotationskörper Nur etwas allgemeines.. Der Schwerpunkt von Körpern berechnet sich aus $\begin{eqnarray} x_S = \frac{1}{V} \iiint \limits_{(V)} x dV \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_S = \frac{1}{V} \iiint \limits_{(V)} y dV \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_S = \frac{1}{V} \iiint \limits_{(V)} z dV \end{eqnarray}$ Bei einem Rotationskörper gilt $\begin{eqnarray} x_S = y_S = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_S = \frac{1}{V} \iiint \limits_{(V)} z rdzdrd\varphi \end{eqnarray}$ Soweit so gut.. Was ist denn jetzt aber, wenn ich mal keinen Rotationskörper habe? Ist es dann $\begin{eqnarray} x_S = \frac{1}{V} \iiint \limits_{(V)} x rdxdrd\varphi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_S = \frac{1}{V} \iiint \limits_{(V)} y rdydrd\varphi \end{eqnarray}$ ?
08.12.2015, 12:40	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie du richtig schreibst, lautet die allgemeine Formel für den Schwerpunkt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \frac{1}{V}\cdot \begin{pmatrix} \int\int\int x_1 dV \\ \int\int\int x_2 dV \\ \int\int\int x_3 dV \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zur Berechnung dieser Integrale kannst du beliebige Arten von Koordinaten verwenden. Bei Zylinderkoordinaten hat man z.B. $\begin{eqnarray} x_1=r\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=r\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dV=r \,\,dz dr d\phi \end{eqnarray}$ Setzt man dies oben ein, bekommt man $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \frac{1}{V}\cdot \begin{pmatrix} \int\int\int r\cdot \cos(\phi)\cdot r\,\,dz drd\phi \\ \int\int\int r\cdot \sin(\phi)\cdot r\,\,dz dr d\phi \\ \int\int\int z\cdot r\,\,dz drd\phi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
08.12.2015, 13:05	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaah dV ist also immer $\begin{eqnarray} dV = rdzdrd\varphi \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} x = r \cdot cos(\varphi) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y = r \cdot sin(\varphi) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z = z \end{eqnarray}$ Somit $\begin{eqnarray} x_S = \iiint \limits_{(V)} r \cdot cos(\varphi) rdzdrd\varphi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_S = \iiint \limits_{(V)} r \cdot sin(\varphi) rdzdrd\varphi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_S = \iiint \limits_{(V)} z rdzdrd\varphi \end{eqnarray}$ Darf man das r schon hinein multiplizieren? $\begin{eqnarray} x_S = \iiint \limits_{(V)} r^2 \cdot cos(\varphi) dzdrd\varphi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_S = \iiint \limits_{(V)} r^2 \cdot sin(\varphi) dzdrd\varphi \end{eqnarray}$
08.12.2015, 13:14	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, deine letzten beiden Formeln sind richtig. Du kannst also im Integranden schreiben r². -------------------------------------------- Bei Kugelkoordinaten hätte man übrigens $\begin{eqnarray} x_1=r\cdot \cos(\phi)\sin(\theta) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=r\cdot \sin(\phi)\sin(\theta) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=r\cdot \cos(\theta) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dV=r^2\sin(\theta)\,\,dr d\phi d\theta \end{eqnarray}$ --------------------------------------------- Egal, welche Koordinaten man verwendet - man muss die 3 Integrale ganz formal in den jeweiligen Koordinaten berechnen.
08.12.2015, 13:23	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay danke

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