Grenzwertberechnung von (sin(x)+20x) / (cos(x)+2x)

08.12.2015, 13:19

Sonni_ahnunglos

Grenzwertberechnung von (sin(x)+20x) / (cos(x)+2x)

Meine Frage:
Hallo zusammen smile

Ich muss für die Übung folgende Aufgabe lösen und stehe mal wieder auf dem Schlauch...

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte. Benutzen Sie dazu falls möglich die Regel von de l?Hospital und begründen Sie jeweils, warum diese anwendbar bzw. nicht anwendbar ist.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{\sin(x) +20x}{\cos(x) +2x} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe erstmal gezeigt, dass der Spaß nicht mit L'Hospital zu lösen ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{\sin(x) +20x}{\cos(x) +2x} = \lim_{x \to \infty } \frac{\cos(x) +20}{-\sin(x) +2} \end{eqnarray*}$

Hier funktioniert L'H. noch, da ja sowohl Nenner wie auch Zähler Richtung
$\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ konvergieren. Also einmal getrennt ableiten, dann lande ich beim zweiten Term, bei dem L'H ja nicht mehr funktioniert, da sowohl Nenner als auch Zähler divergent sind.

Also müsste ich ja jetzt den Grenzwert anders bestimmen... und daran scheitere ich leider kläglich

Laut Wolframalpha konvergiert die Funktion gegen 10.

08.12.2015, 13:49

klarsoweit

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RE: Grenzwertberechnung von (sin(x)+20x) / (cos(x)+2x)
Mit relativ geringem Aufwand kann man zeigen, daß für x >= 1 die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{-1 +20x}{1 +2x} \leq \frac{\sin(x) +20x}{\cos(x) +2x} \leq \frac{1 +20x}{-1 +2x} \end{eqnarray*}$

gilt. Augenzwinkern

08.12.2015, 14:00

Sonni_ahnunglos

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RE: Grenzwertberechnung von (sin(x)+20x) / (cos(x)+2x)
aaaah... manchmal sieht man echt den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr!

Danke smile

!!!

08.12.2015, 14:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sonni_ahnunglos
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{\sin(x) +20x}{\cos(x) +2x} = \lim_{x \to \infty } \frac{\cos(x) +20}{-\sin(x) +2} \end{eqnarray*}$

Hier funktioniert L'H. noch, da ja sowohl Nenner wie auch Zähler Richtung $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ konvergieren.

Das kann man so nicht stehen lassen:

Zur Anwendung der L'Hospital-Regel benötigt man nicht nur die Voraussetzung "0/0" bzw. "unendlich/unendlich" beim Quotienten links, sondern auch die Konvergenz des Quotienten der Ableitungen rechts! Und letztere ist beim Term $\begin{align*} \frac{\cos(x) +20}{-\sin(x)+2} \end{align*}$ für $\begin{align*} x\to\infty \end{align*}$ nicht erfüllt, also "funktioniert" LH hier nicht.

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