Für welche Werte konvergiert\divergiert die Reihe

08.12.2015, 15:34

klias

Für welche Werte konvergiert\divergiert die Reihe

Ich soll schauen, für welche $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ die Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n = 1}^\infty \frac{3x^n}{2+x^{4n}} \end{eqnarray*}$

konvergiert , bzw. divergiert

ich hab schon gezeigt, dass sie konvergiert für $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$ und divergiert für $\begin{eqnarray*} 0<x\leq 1 \end{eqnarray*}$

nur bei den negativen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hänge ich im Moment

08.12.2015, 15:44

klarsoweit

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RE: Für welche Werte konvergiert\divergiert die Reihe

Zitat:

Original von klias
ich hab schon gezeigt, dass sie konvergiert für $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$ und divergiert für $\begin{eqnarray*} 0<x\leq 1 \end{eqnarray*}$

Mit welchem Kriterium hast du das gezeigt? Ggf. ergeben sich aus dem verwendeten Kriterium auch Aussagen für negative x. smile

08.12.2015, 15:47

IfindU

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RE: Für welche Werte konvergiert\divergiert die Reihe
Wieso soll die Reihe denn für $\begin{eqnarray*} 0 < x < 1 \end{eqnarray*}$ divergieren? verwirrt

08.12.2015, 16:16

klias

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ich habs so gemacht

$\begin{eqnarray*} \sum_{n= 1}^\infty \frac{3x^n}{2+x^{4n}}\leq \sum_{n= 1}^\infty \frac{3x^n}{x^{4n}} = \sum_{n= 1}^\infty \frac{3}{x^{3n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{3}{x^{3(n+1)}}}{\frac{3}{x^{3n}}} = \frac{1}{x^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{x^3}| < 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$

---------------------------------------

für $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n= 1}^\infty \frac{3x^n}{2+x^{4n}}\leq \sum_{n= 1}^\infty \frac{3}{x^{4n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{3}{x^{4(n+1)}}}{\frac{3}{x^{4n}}} = x^4 < 1 \end{eqnarray*}$

für x = 1 $\begin{eqnarray*} \sum_{n= 1}^\infty \frac{3}{3} \end{eqnarray*}$ und das ist divergent.

also konvergent für $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$
divergent für $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$

---------------------------------------

für $\begin{eqnarray*} -1 < x <0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n= 1}^\infty (-1)^n\frac{3|x|^n}{2+x^{4n}} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \frac{3|x|^n}{2+x^{4n}} \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge, woraus folgt, das sie konvergiert

---------------------------------------

für $\begin{eqnarray*} x = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n= 1}^\infty (-1)^n\frac{3}{3} \end{eqnarray*}$

und das divergiert

---------------------------------------

für $\begin{eqnarray*} x < -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n= 1}^\infty (-1)^n\frac{3|x|^n}{2+|x|^{4n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3|x|^n}{2+|x|^{4n}} = \frac{3\frac{|x|^n}{|x|^{4n}}}{\frac{2}{|x|^{4n}} + 1} = \frac{3\frac{1}{|x|^{3n}}}{\frac{2}{|x|^{4n}} + 1} \end{eqnarray*}$

und das ist eine Nullfolge, womit auch dieser Fall konvergiert

---------------------------------------

bei $\begin{eqnarray*} 0< x < 1 \end{eqnarray*}$ hab ich einen Fehler gemacht, komme aber auf keinen alternativen Weg

EDIT: diverse Beiträge zusammengefaßt (klarsoweit)

08.12.2015, 18:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von klias
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{3}{x^{4(n+1)}}}{\frac{3}{x^{4n}}} = x^4 < 1 \end{eqnarray*}$

Verrechnet: Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{3}{x^{4(n+1)}}}{\frac{3}{x^{4n}}} = \frac{1}{x^4} > 1 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} 0\leq x<1 \end{eqnarray*}$ brauchst du eine andere Majorante, z.B. $\begin{eqnarray*} \sum_{n= 1}^\infty \frac{3x^n}{2+x^{4n}}\leq \sum_{n= 1}^\infty \frac{3x^n}{2} \end{eqnarray*}$ .

08.12.2015, 20:51

klias

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Danke an alle. Ich hab als Majorante $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty 3x^n \end{eqnarray*}$ gewählt

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