Unabhängige Ereignisse Beweis

08.12.2015, 16:20

AmHa

Unabhängige Ereignisse Beweis

Meine Frage:

a) Es sei ( $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , P, A) ein Wahrscheinlichkeitsraum und ( $\begin{eqnarray*} A_{i} \end{eqnarray*}$ )_(i $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ I) $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ A eine Familie von Ereignissen mit beliebiger Indexmenge I. Für jedes i $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ I definieren wir $\begin{eqnarray*} B_{i}^{0} \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} A_{i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_{i}^{1} \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} A_{i}^{c} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent zueinander sind.
i) Die Ereignisse ( $\begin{eqnarray*} A_{i} \end{eqnarray*}$ )_(i $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ I) sind unabhängig.
ii) Für jede endliche Teilmenge J und für jede Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ : I -> {0, 1} gilt:
P [ $\begin{eqnarray*} \bigcap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B_{i}^{Phi(i)} \end{eqnarray*}$ ] = $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{i in J} P[ B_{i}^{Phi(i)}] \end{eqnarray*}$

b) Kann es auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , P, A) zwei unabhängige Ereignisse A und B geben mit P[A] $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (0,1) und P $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (0,1) sowie A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B = $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ? Geben Sie ein Beispiel oder beweisen Sie, dass dies unmöglich ist.

[b]Meine Ideen:
a) Damit die Aussagen äquivalent sind, muss ja gelten i) -> ii) und ii) -> i)
Bei der ersten Richtung muss ich ja beweisen, dass die Ereignisse unabhängig zueinander sind, dann folgt doch aus der Definition von unabhängigen Ereignissen ii)
Und bei der zweiten Richtung muss ich ja auch nur die Gleichung beweisen und daraus folgt doch auch aus der Definition i)
Ist das richtig so ?
Und wenn ja , wie genau muss ich denn beim Beweis vorgehen, habe keine Idee !?

08.12.2015, 18:43

HAL 9000

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RE: Unabhängige Ereignisse Beweis
ii) -> i) folgt sofort aus der Definition, und dazu brauchen wir ii) nur auf die Nullfunktion $\begin{align*} \Phi\equiv 0 \end{align*}$ anzuwenden.

i) -> ii) hatten wir letztens mal hier im Board.

Zu b) Es gilt stets $\begin{align*} P(A\cup B) + P(A\cap B) = P(A)+P(B) \end{align*}$ .

Sind $\begin{align*} A,B \end{align*}$ unabhängig, so muss $\begin{align*} P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \end{align*}$ gelten, außerdem gilt nach Voraussetzung $\begin{align*} P(A\cup B)=1 \end{align*}$ . Beides in die Gleichung eingesetzt ergibt sich

$\begin{align*} 1 + P(A)\cdot P(B) = P(A) + P(B) \end{align*}$

$\begin{align*} 1 - P(A) - P(B) + P(A)\cdot P(B) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} (1 - P(A)) \cdot (1 - P(B)) = 0 \end{align*}$ .

Was lässt sich daraus schließen?

09.12.2015, 20:42

AmHa

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Okay, danke die a) werde ich nochmal probieren

Und bei der b) folgt ja dass, dann entweder P(A) = 1 oder P(B) = 1 und das ist ja der Widerspruch zu der Voraussetzung, oder ?

09.12.2015, 20:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von AmHa
Und bei der b) folgt ja dass, dann entweder P(A) = 1 oder P(B) = 1 und das ist ja der Widerspruch zu der Voraussetzung, oder ?

So ist es. Freude