Vektorraum Basis finden

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Teaowner Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum Basis finden
Meine Frage:
Guten Tag!

Ich habe ein Problem zu folgendem Beispiel.

Bestimmen sie eine Basis des K-Vektorraums V und ergänzen Sie diese zu einer Basis des K-Vektorraums W.

K = R^1

V = <>

W = R^3

Mein Problem liegt beim finden der Basis. Diese dann zu ergänzen kriege ich hin.


Meine Ideen:

Meine Gedanken sind folgende:
V ist laut Angabe ein Erzeugendensystem, wenn dieses linear unabhängig ist, ist es eine Basis. Eine Menge mit einem Vektor, ist linear unabhängig wenn dieser Vektor ungleich dem Nullvektor ist.

Da ungleich dem Nullvektor ist, ist er die gesuchte Basis.

Was mich jetzt verwirrt, ist das der Vektor 3 Komponenten besitzt, aber in R^1 liegt. Ich stell mir das im Moment als Gerade im dreidimensionalen Raum vor, bin mir jedoch nicht sicher ob das korrekt ist.

Also meine Frage:
Ist die Basis korrekt? Falls nein warum nicht?

Freundliche Grüße
Daniel
MeMeansMe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum Basis finden
Hallo,

steht noch mehr in der Aufgabe? Aus deinen Angaben kann man herauslesen, dass von dem Vektor aufgespannt wird, mehr nicht.

Dass der Vektor in liegt, steht nirgendwo. Es ist so, dass die Vektorräume und über dem Körper definiert sind.

Unter diesen Gesichtspunkten kannst du ja noch mal schauen, ob du weiter kommst.
 
 
Teaowner Auf diesen Beitrag antworten »

Es steht nicht mehr in der Angabe, aber du hast mir extrem weitergeholfen, es löst sich jetzt wie von selbst smile
Vielen Dank!
MeMeansMe Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne smile Du kannst deine Lösung gerne auch posten, wenn du magst smile
Teaowner Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Lösung:

Da das Erzeugendensystem linear unabhängig ist, ist

B =

eine Basis des Vektorraums.

Diese Basis wird nun auf R^3 erweitert.
Also mache ich daraus ein homogenes Gleichungssystem



Daran kann ich super die erweiterte Basis ablesen.

B'= {}
MeMeansMe Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Vielleicht noch ein kurzer Tipp fürs nächste Mal: Das Gleichungssystem musst du im Prinzip gar nicht aufstellen. Du kannst unmittelbar aus dem Basisergänzungssatz schließen, dass deine genannte Basis tatsächlich eine Basis ist. Kannst du ja mal drüber nachdenken smile

Aber ist nur ein Tipp, du kannst natürlich auch weiterhin mit Gleichungssystemen arbeiten.
Teaowner Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp!
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