Erst integrieren und dann partiell ableiten.

09.12.2015, 00:39	SansaStark	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst integrieren und dann partiell ableiten. So, habe hier eine wunderschöne Aufgabe aus der Physik. Wir betrachten nun ein kleines Intervall [x0, x0+DELTA;x] und schreiben q(t, x) für die Rate, mit der die Amöben den Punkt x zum Zeitpunkt t von links nach rechts überqueren. ¨ Aufgrund der Erhaltung der Gesamtpopulation lässt sich die Anzahl der Amöben die das Intervall [x0, x0 + DELTA] verlassen als $\begin{eqnarray} \frac{PA}{PA t} \int_{x0}^{x0+DELTA x} \! a(t,x) \, dx = q (t, x0) - q(t, x0 + DELTAx) \end{eqnarray}$ schreiben. (Achtung: PA = Symbol für partielle Ableitung und DELTA ist dieses kleine Dreieck-Symbol) Nun ist meine Frage, wie ich da vorgehen soll. Also ich würde zuerst einmal integrieren. Und zwar nur das a, weil das als einziges zwischen dem Integralzeichen und dem dx steht. Das hieße doch eigentlich, dass ich aus $\begin{eqnarray} a^{1} \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}a^{2} \end{eqnarray}$ machen müsste. Da ja das $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ dasselbe ist wie $\begin{eqnarray} q1 - q2 \end{eqnarray}$ , müsste ich denselben Quatsch mit den q's machen. $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}(q1)^{2} - \frac{1}{2}(q2)^{2} \end{eqnarray}$ . ODER muss ich den gesamten Terminus wie das a verpacken, also $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}[(q1)-(q2)]^{2} \end{eqnarray}$ . ODER ist es nichts dergleichen? Ich mache mal mit dem letzten Weg ( $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}[(q1)-(q2)]^{2} \end{eqnarray}$ ) weiter: Dann könnte ich doch theoretisch beide $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ für den Fall $\begin{eqnarray} x0 + DELTA x \end{eqnarray}$ einsetzen und das Ganze subtrahieren mit beiden $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ für den Fall $\begin{eqnarray} x0 \end{eqnarray}$ . Dann käme eine Zahl $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ (=a) raus. Aber was mache ich dann mit der partiellen Ableitung. Ich kann doch nicht eine einzige Zahl ableiten? Also kann ich schon, aber dann hat das doch nichts mehr mit partiell zu tun?! So, erstmal genug, mein Kopf tut vor lauter Latex schon weh Vielen Dank für konstruktive Antworten
09.12.2015, 09:55	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Prinzipielle Erklärung: Du schreibst, dass die Größe q(x) die Rate sei, mit welcher die Amöben den Punkt x von links nach rechts durchströmen. Die Größe q(x) ist also nichts anderes als die 1-dimensionale Stromdichte der Amöben (Dimension $\begin{eqnarray} [\tfrac{\text{Anzahl}}{\text{Zeit}}] \end{eqnarray}$ ). Für zwei dicht benachbarte Punkte gibt die Differenz $\begin{eqnarray} q(x+\Delta x)-q(x) \end{eqnarray}$ die Anzahl der Amöben an, welche pro Zeit aus dem Intervall $\begin{eqnarray} \Delta x \end{eqnarray}$ herausströmt. Diese Differenz ist also der Saldo: Abstrom minus Zustrom. Im Grenzübergang für unendlich kleine Intervalle hätte man also folgenden Verlustrate infolge des Herausströmens aus dem differenziell kleinen Intervall $\begin{eqnarray} d x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{\Delta x \to 0} \tfrac{q(x+\Delta x)-q(x)}{\Delta x}=\tfrac{\partial q}{\partial x} \end{eqnarray}$ Wichtige Schlussfolgerung: Die 1.Ableitung der Stromdichte q nach dem Ort x gibt die "Verlustrate" im differenziall kleinen Intervall $\begin{eqnarray} d x \end{eqnarray}$ infolge des "Herausströmens" an! Die Dimension von $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial q}{\partial x} \end{eqnarray}$ ist also $\begin{eqnarray} [\tfrac{\text{Anzahl}}{\text{Zeit}\cdot \text{Länge}}] \end{eqnarray}$ . Andererseits ist klar, dass dieses Herausströmen übereinstimmen muss mit der Abnahme der Amöben-Dichte $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ im kleinen Intervall $\begin{eqnarray} dx \end{eqnarray}$ pro Zeit. Wir haben also die Bilanzgleichung $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \rho}{\partial t}+\tfrac{dq}{dx}=0 \end{eqnarray}$ Diese Bilianzgleichung, die man auch als "eindimensionale Kontinuitätsgleichung" bezeichnet, drückt die simple Tatsache aus, dass die Abnahme der Dichte in einem differenziell kleinen Intervall $\begin{eqnarray} d x \end{eqnarray}$ mit dem Abströmen aus diesem Intervall übereinstimmen muss. ------------------------- Zu deiner konkreten Frage: Wenn du also wissen willst, wieviele Amöben aus einem größeren Intervall $\begin{eqnarray} [x;x+\Delta x] \end{eqnarray}$ abströmen, so muss du die Kontinuitätsgleichung über dieses Intervall nach x integrieren, also $\begin{eqnarray} \underbrace{\tfrac{\partial }{\partial t}\int_{x}^{x+\Delta x}\rho\,\,dx}_{\text{Abnahme der Amöben}}+\underbrace{\int_{x}^{x+\Delta x}\tfrac{dq}{dx}\,\,dx}_{\text{Abstrom der Amöben}}=0 \end{eqnarray}$ Das 2.Integral ergibts also einfach die Differenz $\begin{eqnarray} q(x+\Delta)-q(x) \end{eqnarray}$ . Du musst dort also nicht mehr nach der Zeit ableiten.
15.01.2016, 18:29	SansaStark	Auf diesen Beitrag antworten »
Thx Ist zwar schon länger her aber vielen Dank für diese ausführliche Antwort!

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