Ungleichung abschätzen

09.12.2015, 13:28	Mila44	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung abschätzen Meine Frage: Hallo Ich möchte für meine Aufgabe die Gleichung $\begin{eqnarray} k\cdot \sqrt{\frac{3}{4} k^2+2k+1+k\sqrt{k^2+2k+1}} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} k^2 + k \cdot \sqrt{k^2+2k+1} \end{eqnarray}$ abschätzen, wobei $\begin{eqnarray} k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Aufgrund der Wurzel unter der Wurzel weiß ich leider nicht, wie ich am besten vorgehen sollte. Über jeden Ratschlag bin ich dankbar.
09.12.2015, 13:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal: Es ist $\begin{align} \sqrt{k^2+2k+1} = \sqrt{(k+1)^2} = k+1 \end{align}$ , d.h., du drückst dich überkompliziert aus. Mit dieser Vereinfachung lauten deine beiden Terme $\begin{align} k\cdot \sqrt{\frac{7}{4} k^2+3k+1} \end{align}$ und $\begin{align} k(2k+1) \end{align}$ , und über die simple Abschätzung $\begin{align} \frac{7}{4} k^2+3k+1 \leq 4k^2+4k+1 = (2k+1)^2 \end{align}$ sieht man, dass der erste Term immer kleiner oder gleich dem zweiten Term ist. Wie man sieht, ist die Abschätzung ziemlich grob und kann deutlich verbessert werden.
09.12.2015, 13:59	Mila44	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hilfe!

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