Fixpunktiteration

09.12.2015, 15:21

Lynn2

Fixpunktiteration

Meine Frage:
Huhu smile

Ich habe folgende Aufgabe gegeben:
Gibt man in einem Taschenrechner eine beliebige Zahl ein und betätigt mehrfach die 'cos'-Taste, so beobachtet man numerisch eine Konvergenz gegen einen Fixpunkt. Analysieren Sie dieses Verfahren. (Intervall angeben, Voraussetzungen prüfen, Lischitz-Konstante angeben)

Meine Ideen:
Ich schließe daraus den Fixpunkt $\begin{eqnarray*} s = \lim_{n \to \infty } cos(cos(...(cos(k)))) \end{eqnarray*}$ .
Im nächsten Schritt habe ich die Schrittfunktion $\begin{eqnarray*} \phi(x) = cos(x) \end{eqnarray*}$ bestimmt.
Nun möchte ich das Intervall I so bestimmen, sodass das Iterationsverfahren für alle Startwerte in I gegen s konvergiert. Vorerst bestimmt ich den Fixpunkt s.
$\begin{eqnarray*} \phi(s)=s \Leftrightarrow cos(s)=s \Leftrightarrow 0=s-cos(s) \end{eqnarray*}$
Wie kann ich nun mein Intervall angeben?

09.12.2015, 15:45

HAL 9000

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Nach spätestens einer Kosinusanwendung ist der Wert im Intervall $\begin{align*} [-1,1] \end{align*}$ .

Für $\begin{align*} \phi:\;[-1,1]\to [-1,1] \end{align*}$ mit $\begin{align*} \phi(x)=\cos(x) \end{align*}$ kannst du unter Nutzung des Mittelwertsatz nun leicht eine Lipschitzkonstante <1 angeben, also geeignet zur Kontraktion.

09.12.2015, 16:58

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} \phi(s)=s \Leftrightarrow cos(s)=s \Leftrightarrow 0=s-cos(s) \end{eqnarray*}$ würde nicht zum geeigneten Intervall führen?

09.12.2015, 17:37

HAL 9000

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Ich verstehe nicht, was du damit sagen willst: Wie soll die Angabe einer Fixpunktgleichung allein zu einem passenden Intervall führen? unglücklich

09.12.2015, 19:00

Lynn2

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Sorry, hatte gerade einen Denkfehler.

Wie kann ich das s bestimmen bei
$\begin{eqnarray*} \phi(s)=s \Leftrightarrow cos(s)=s \Leftrightarrow 0=s-cos(s) \end{eqnarray*}$ ?

09.12.2015, 19:05

HAL 9000

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Na ich dachte, das sei seit dem Eröffnungsbeitrag klar: Durch diese Iteration

Zitat:

Original von Lynn2
Gibt man in einem Taschenrechner eine beliebige Zahl ein und betätigt mehrfach die 'cos'-Taste, so beobachtet man numerisch eine Konvergenz gegen einen Fixpunkt.

Mit $\begin{align*} \phi(x)=\cos(x) \end{align*}$ geschrieben:

$\begin{align*} x_{n+1} = \phi(x_n) \end{align*}$ mit irgend einem Startwert $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ .

Man macht doch diese Iteration überhaupt erst, weil man den Grenzwert (=Fixpunkt von $\begin{align*} \phi \end{align*}$ ) nicht analytisch ausdrücken kann!

09.12.2015, 19:09

Lynn2

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Ok, vielen Dank. Die vollständige Erleuchtung ist soeben erschienen. Wink

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