Bilinearität des Standardskalarprodukts

09.12.2015, 15:29	mathelappen	Auf diesen Beitrag antworten »
Bilinearität des Standardskalarprodukts Meine Frage: Ich soll für eine Aufgabe prüfen, ob eine Funktion ein Skalarprodukt ist. ich habe die Funktion bereits auf folgendes geprüft: symmetrie, positiv definit. bei der Bilinearität tue ich mich jedoch schwer. An sich sollte es ja einfach einsetzen + Umformen sein, aber ich glaube mir fehlt noch das Verständnis. Ich kann nämlich noch nicht nachvollziehen, warum das Standardskalarprodukt bilinear ist. Beim Einsetzen geht es bei mir nicht auf . Hat jemand vlt einen link oder kann den Beweis erklären? Meine Ideen: Ich hatte mich jetzt die drei vektoren (x1 x2), (y1 y2) und (z1 z2) und definiert. (und w aus R^n zum multiplizieren) Linear in eine richtung wäre ja: ((x1 x2)+ w* <(y1 y2)\|(z1 z2)>) = (x1 x2) + w (y1z1 + y2z2) beim Umformen laufe ich aber jetzt seit etlichen versuchen ins chaos, schon für einen Tipp, was ich als erstes machen/wie ich vorgehen soll wäre ich dankbar!
09.12.2015, 17:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Standardskalarprodukt $\begin{eqnarray} <\begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix},\begin{pmatrix} y_1 \\ ... \\ y_n \end{pmatrix}>=\sum_{k=1}^nx_k\cdot y_k \end{eqnarray}$ ist genau dann bilinear, wenn für alle $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u_1 \\ ... \\ u_n \end{pmatrix},\begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n\end{pmatrix},\begin{pmatrix} w_1 \\ ... \\ w_n\end{pmatrix}\in\mathbb R^n, \alpha,\beta\in \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} <\alpha\begin{pmatrix} u_1 \\ ... \\ u_n \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix},\begin{pmatrix} w_1 \\ ... \\ w_n\end{pmatrix}>=\alpha<\begin{pmatrix} u_1 \\ ... \\ u_n\end{pmatrix},\begin{pmatrix} w_1 \\ ... \\ w_n\end{pmatrix}> +\beta<\begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix},\begin{pmatrix} w_1 \\ ... \\ w_n\end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <\begin{pmatrix} u_1 \\ ... \\ u_n \end{pmatrix},\alpha\begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix} w_1 \\ ... \\ w_n\end{pmatrix}>=\alpha<\begin{pmatrix} u_1 \\ ... \\ u_n\end{pmatrix},\begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n\end{pmatrix}> +\beta<\begin{pmatrix} u_1 \\ ... \\ u_n \end{pmatrix},\begin{pmatrix} w_1 \\ ... \\ w_n\end{pmatrix}> \end{eqnarray}$

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