Konvergenz einer komplexen Potenzreihe

09.12.2015, 17:33

Systemerror

Konvergenz einer komplexen Potenzreihe

Hallo alle zusammen
Ich hab ne Aufgabe, bei der ich mir sehr unsicher wie ich sie zu lösen hab. Die Aufgabe ist wie folgt:

Bestimmen Sie eine Kreisfläche aus C auf der Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty(\frac{-1}{4-3i})^n\frac{2z-3+2i)^n}{n+3} \end{eqnarray*}$ konvergiert. Den Rand brauchen sie nicht zu untersuchen.

Nun muss ich z0 und r finden. R berechnet sich folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} r = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}|{\frac{a_n}{a_{n+1}}}| \end{eqnarray*}$

Wo ich mir nicht sicher bin ist wie ich $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ finde. Ist $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{4-3i} \end{eqnarray*}$ einfach mein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ? Aber dann fehlt immer noch $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ .

Ich muss glaube ich die Reihe ein wenig umformen, scheine da aber etwas auf dem Schlauch zu stehen.

09.12.2015, 17:55

HAL 9000

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Nein, ein bisschen mehr musst du schon tun. Tipp: $\begin{align*} 2z-3+2i = 2(z-z_0) \end{align*}$ mit $\begin{align*} z_0 = \frac{3}{2} - i \end{align*}$

09.12.2015, 18:56

Systemerror

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Ahh natürlich vielen dank. Ich glaube das hilft mir wirklich weiter (ich hoffe ich habe nicht wieder fehler beim Umformen gemacht ,ich habe versucht alle Regeln zu überprüfen)
$\begin{eqnarray*} (\frac{-1}{4-3i})^n\frac{(2z-3+2i)^n}{n+3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(\frac{-1}{4-3i})^n(2z-3+2i)^n}{n+3} \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}*c = \frac{ac}{b} \end{eqnarray*}$

Dann klammer ich die 2 aus (wie in deinem Tipp)

$\begin{eqnarray*} \frac{(\frac{-1}{4-3i})^n(2(z-(\frac{3}{2}-i))^n}{n+3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(\frac{-1}{4-3i})^n(2^n(z-(\frac{3}{2}-i))^n)}{n+3} \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} a^n*b^n= (ab)^n \end{eqnarray*}$

Jetzt können wir das Assoziativgesetz anwenden, gefolgt von noch einmal $\begin{eqnarray*} a^n*b^n= (ab)^n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} = \frac{(\frac{-1}{4-3i})^n2^n(z-(\frac{3}{2}-i))^n}{n+3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(\frac{-1}{4-3i}*2)^n(z-(\frac{3}{2}-i))^n}{n+3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(\frac{-2}{4-3i})^n(z-(\frac{3}{2}-i))^n}{n+3} \end{eqnarray*}$

Als letztes noch einmal $\begin{eqnarray*} \frac{ac}{b}= \frac{a}{b}*c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(\frac{-2}{4-3i})^n}{n+3}*(z-(\frac{3}{2}-i))^n \end{eqnarray*}$

Damit hätte ich jetzt $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{(\frac{-2}{4-3i})^n}{n+3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_0 = \frac{3}{2}-i \end{eqnarray*}$

Und müsste jetzt nur noch $\begin{eqnarray*} |\frac{a_n}{a_{n+1}}| \end{eqnarray*}$ berechnen um den Radius zu bekommen

09.12.2015, 19:01

HAL 9000

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Sieht soweit gut aus.

09.12.2015, 19:37

Systemerror

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Gut, dann mal weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$ wäre in unserem Fall

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{(\frac{-2}{4-3i})^n}{n+3}}{\frac{(\frac{-2}{4-3i})^{(n+1)}}{(n+1)+3}} \end{eqnarray*}$

Brüche dividiert man, indem man den Kehrwert multipliziert, also:

$\begin{eqnarray*} \frac{(\frac{-2}{4-3i})^n}{n+3} * \frac{(n+1)+3}{(\frac{-2}{4-3i})^{(n+1)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(\frac{-2}{4-3i})^n}{n+3} * \frac{(n+4)}{(\frac{-2}{4-3i})^n*(\frac{-2}{4-3i})^1} \end{eqnarray*}$ wegen Assoziativgesetzt und $\begin{eqnarray*} a^{n+m} = a^n *a^m \end{eqnarray*}$

damit kann ich $\begin{eqnarray*} (\frac{-2}{4-3i})^n \end{eqnarray*}$ kürzen und bekomme

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{n+3} * \frac{(n+4)}{(\frac{-2}{4-3i})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(n+4)}{(n+3)*\frac{-2}{4-3i}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(n+4)}{\frac{(n+3)*(-2)}{4-3i}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(n+4)}{\frac{-2n-6}{4-3i}} \end{eqnarray*}$

Brüche dividieren durch Kehrwert multiplizieren

$\begin{eqnarray*} = (n+4) *\frac{4-3i}{-2n-6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(n+4) *(4-3i)}{-2n-6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{4n-3in+16-12i}{-2n-6} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} <br /> \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{4n-3in+16-12i}{-2n-6}} = -2 + \frac{3i}{2} \end{eqnarray*}$ .
Was dann mein Radius wäre

Edit: Moment, ich glaube da stimmt irgendwas nicht. Ich glaube den Radius als komplexe Zahl kann ich nicht benutzen oder?

09.12.2015, 19:45

HAL 9000

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Du hast den Betrag vergessen. Und ehrlich: Nichts gegen ausführliche Zwischenschritte, aber hast du nicht auch manchmal das Gefühl, dass du es ein wenig übertreibst mit der Anzahl der Umformungsschritte? Spätestens nach

Zitat:

Original von Systemerror
damit kann ich $\begin{eqnarray*} (\frac{-2}{4-3i})^n \end{eqnarray*}$ kürzen und bekomme

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{n+3} * \frac{(n+4)}{(\frac{-2}{4-3i})} \end{eqnarray*}$

wäre ich direkt zu $\begin{align*} \frac{n+4}{n+3}\cdot \frac{4-3i}{-2} \end{align*}$ übergegangen und von da direkt zum Betrag. Und hier NICHT ausmultiplizieren, sondern $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \frac{n+4}{n+3} = 1 \end{align*}$ direkt nutzen.

09.12.2015, 20:04

Systemerror

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Ja, ist vielleicht ein wenig viel. Ich habe die Angewohnheit sehr schnell Flüchtigkeitsfehler zu machen bei diesen Umformungen, deswegen versuche ich, extrem genau zu arbeiten. Ich werds abkürzen wenn ichs aufschreibe.

Zitat:

Original von HAL 9000.

Und hier NICHT ausmultiplizieren, sondern $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \frac{n+4}{n+3} = 1 \end{align*}$ direkt nutzen.

Stimmt, danke. Das macht das etwas einfacher.

Zitat:

Original von HAL 9000
Du hast den Betrag vergessen.

Danke. Damit wären der Radius $\begin{eqnarray*} \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

Vielen dank für deine Hilfe smile

09.12.2015, 21:03

HAL 9000

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Ja, Konvergenzkreisradius $\begin{align*} \frac{5}{2} \end{align*}$ ist hier richtig.

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