Normalverteilung -> Aufgabe

09.12.2015, 22:54	Daniel1995	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalverteilung -> Aufgabe Meine Frage: Guten Abend, ich bin gerade völlig am verzweifeln da ich etwas nicht nach vollziehen kann. Gegeben sei folgende Aufgabe: Peter hat den Vorsatz, nicht mehr zu spät zur Arbeit zu kommen (Arbeitsbeginn 8 Uhr). Im Mittel braucht er für den Weg 41 Minuten. Er nimmt an das der Weg normalverteilt ist und eine Standardabweichung von 5,5 Minuten hat. Zu welcher Uhrzeit muss er los gehen, wenn die Wahrscheinlichkeit zu spät zu kommen auf 1/16 begrenzt sein soll? Meine Ideen: Erstmal kann ich folgendes definieren: x -> norm (41 ; 5.5²) Nun benötige ich die Zufallsvariable, die man aus der Tabelle entnehmen muss. Jetzt ist mir aufgefallen das wir den Wert für 15/16 = 0.9375 aus der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung raussuchen sollten. Wieso 15/16, ich hätte eigtl. die 1/16 genommen? mfg Daniel
09.12.2015, 23:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
1/16 ist die Wahrscheinlichkeit für Zuspätkommen, also für eine zu große Fahrzeit, d.h. $\begin{align} P(X>L) = \frac{1}{16} \end{align}$ , wenn $\begin{align} L \end{align}$ das zu bestimmende Limit ist. Das bedeutet dann Verteilungsfunktionswert $\begin{align} P(X\leq L) = 1-P(X>L) = \frac{15}{16} \end{align}$ .
10.12.2015, 09:25	Daniel1995	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} P(X>L) = \frac{1}{16} \end{align}$ => mit Worten ausgedrückt würde das heißen: Die Wahrscheinlichkeit besteht zu 1/16 das ich mehr Zeit benötige als ich eigentlich darf $\begin{align} P(X\leq L) = 1-P(X>L) = \frac{15}{16} \end{align}$ => mit Worten ausgedrückt würde das heißen: Die Wahrscheinlichkeit besteht zu 15/16 das ich weniger oder die gleiche Zeit benötige die ich darf. Also lässt sich im Kehrschluss sagen: Das ich die Zeit die ich mehr benötige quasi verspätet ankomme nicht ausrechnen kann, sondern nur die Zeit berechnen in der ich es pünktlich schaffe? mfg Daniel
10.12.2015, 10:26	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und damit weißt Du, wieviel Minuten vor 8.00 Du losgehen musst, um mit p=15/16 um 8.00 oder früher anzukommen. Schau Dir mal die Skizze an: [attach]40075[/attach] Viele Grüße Steffen
10.12.2015, 12:40	Daniel1995	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar vielen Dank. Durch die Skizze wird es aufjedenfall schon einleuchtender. Im Endeffekt kann man doch sagen das links die Zeit = 0 min ist. Und die Formel die ich nutze ist so ausgelegt das ich z.B von 0-40 Minuten die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen kann, ist aber z.B die Wahrscheinlichkeit von Werten über 40 gefragt nehme ich meine Gesamtheit mit 1 und subtrahiere diese mit den Werten von 0-40...so habe ich denn die Werte über 40... So macht es doch Sinn oder? Ich tue mich da ein bissl schwierig mit mfg Daniel
10.12.2015, 13:04	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, für eine einzelne bestimmte Minutenzahl ist die Wahrscheinlichkeit immer Null! Also auf die Nanosekunde genau 41 Minuten zu brauchen ist ein Ereignis, dass so gut wie nie vorkommt. Geometrisch wäre das die "Fläche" der senkrechten Linie, die von 41 nach oben geht. Du kannst mit dieser Formel nur Wahrscheinlichkeiten für Zeitintervalle angeben! Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit, weniger als 41 Minuten zu brauchen, exakt 50 Prozent, denn das ist die halbe Fläche der Glocke. Oder eben das Sechzehntel Wahrscheinlichkeit, mehr als die Minutenzahl zu brauchen, bei der die rote Fläche rechts endet. Aber zum Lösen der Aufgabe reicht das ja auch.
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11.12.2015, 09:08	Daniel1995	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar vielen vielen Dank, habe es jetzt endlich verstanden Das rechnen müsste dann wie folgt sein: $\begin{eqnarray} Z=\frac{X-41}{5,5} \end{eqnarray}$ Der Tabelle habe ich für Z= 1,534 entnommen Nun die Formel nach X umstellen: $\begin{eqnarray} X= Z \cdot 5,5 +41 \end{eqnarray}$ für Z= 1,534 einsetzen. $\begin{eqnarray} X= 1,534 \cdot 5,5 +41 = 49,437 Minuten \end{eqnarray}$ Sprich 49 Minuten und 26 Sekunden mfg Daniel
11.12.2015, 09:22	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles richtig! Viele Grüße Steffen

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