Schnittpunkt zwischen f(x)=e^x und g(x)=2x^2

10.12.2015, 02:05	unnamed651	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkt zwischen f(x)=e^x und g(x)=2x^2 Meine Frage: Bestimmen Sie die kleinste positive Schnittstelle von f(x)=e^x und g(x)=2x^2 Meine Ideen: Also bei eigenem Herumrechnen war schnell Schluss bei: e^x=2x^2 Wurzel aus e^x/2 = x was nicht sonderlich aussagekräftig ist mit ner Wurzel und der Variablen auf beiden Seiten ... mit ln macht auch wenig Sinn weil man ln dann nicht mehr weg bekommt und sich somit im Kreis dreht.. Also habe ich recherchiert und bei einer ähnlichen Funktion die Empfehlung der Lambertschen W Funktion gefunden, die W Funktion soll die Umkehrfunktion von e^x sein.. was mir alles irgendwie nicht einleuchtet, die Umkehrfunktion von e^x ist für mich ln(x) Also vielleicht kann mir ja jemand einen anderen Ansatz nennen oder mir erklären wie ich da mit der W-Funktion rangehen kann.. Vielen Dank für alle Vorschläge im Voraus
10.12.2015, 04:12	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
die W-Funktion ist die Umkehrfunktion zu $\begin{eqnarray} f(x):=x\cdot e^x \end{eqnarray}$ so wird es verständlicher. Oder sollst du das numerisch bestimmen?
10.12.2015, 11:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung $\begin{align} 2x^2 = e^x \end{align}$ ist zu lösen. Für $\begin{align} x>0 \end{align}$ bedeutet das nach Wurzelziehen $\begin{align} \sqrt{2}x = e^{\frac{x}{2}} \end{align}$ und weiterem Umstellen $\begin{align} -\frac{x}{2}\cdot e^{-\frac{x}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4} \end{align}$ . Mit Substitution $\begin{align} z=-\frac{x}{2} \end{align}$ gilt also $\begin{align} ze^z = -\frac{\sqrt{2}}{4} \end{align}$ . Nun greift LambertW und liefert die Lösung(en) $\begin{align} z = W_k\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) \end{align}$ , rücksubstituiert dann $\begin{align} x = -2W_k\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) \end{align}$ . $\begin{align} k \end{align}$ ist ein Parameter, der die Zweige der LambertW-Funktion beschreibt: Zweig $\begin{align} W_0(t) \end{align}$ ist für alle $\begin{align} t\geq -\frac{1}{e} \end{align}$ reell, Zweig $\begin{align} W_{-1}(t) \end{align}$ zumindest noch für $\begin{align} -\frac{1}{e} \leq t < 0 \end{align}$ , d.h., die Gleichung $\begin{align} ze^z = t \end{align}$ hat - für $\begin{align} t\geq 0 \end{align}$ die eine reelle Lösung $\begin{align} W_0(t) \end{align}$ , - für $\begin{align} -\frac{1}{e} < t< 0 \end{align}$ zwei reelle Lösungen $\begin{align} W_0(t) \end{align}$ und $\begin{align} W_{-1}(t) \end{align}$ , - für $\begin{align} t = -\frac{1}{e} \end{align}$ eine reelle (Doppel-)Lösung $\begin{align} W_0\left(-\frac{1}{e}\right) = W_{-1}\left(-\frac{1}{e}\right) = -1 \end{align}$ , - für $\begin{align} t < -\frac{1}{e} \end{align}$ keine reelle Lösung. Da $\begin{align} 0 > -\frac{\sqrt{2}}{4} > -e^{-1} \end{align}$ , haben wir hier zwei reelle Lösungen: $\begin{align} x_0 = -2W_0\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) \approx 1.487962 \end{align}$ $\begin{align} x_{-1} = -2W_{-1}\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) \approx 2.617867 \end{align}$ Du suchst nur die kleinere der beiden, also $\begin{align} x_0 \end{align}$ .

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