Abzählbare Basis Vektorraum

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madsen1990 Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbare Basis Vektorraum
Hallo,

wir haben diese Woche mit Vektorenrechnung begonnen und ich bin mir mit den ganzen neuen Begriffen noch unsicherm ob ich die so anwenden darf wie ich es denke.

Folgende Aufgabe soll bearbeitet werden:

Man betrachte als Vektorraum. Kann V eine abzählbare Basis besitzen?

Ich bin bisher wie folgt rangegangen.
V ist nach Vorraussetzung unendlich-dimensional. Demensprechend besitzt V auch eine unendliche Basis.
Die Anzahl der Elemente der Basis ist aber nach Vorraussetzung gleich .

Da abzählbar ist muss daraus folgen, dass auch die Basis von V abzählbar ist.

Bin ich damit erst einmal auf dem richtigen Weg? Oder muss ich hier anders rangehen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abzählbare Basis Vektorraum
Zitat:
Original von madsen1990
Die Anzahl der Elemente der Basis ist aber nach Vorraussetzung gleich .


Das stimmt nicht. ist der Vektorraum aller Abbildungen von nach , das ist der Vektorraum aller Folgen mit . Tipp: ist der Vektorraum aller rationalen Cauchyfolgen modulo Nullfolgen.
madsen1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh okay.

Vielen Dank erstmal für die Antwort.
Dass es Vektorräume von Abbildungen gibt haben wir zwar angesprochen aber noch nicht wirklich gemacht. Dewegen kann ich damit gerad garnichts anfangen. Ich werd mal schauen, ob ich mich da irgendwie einlesen kann und mich dann nochmal melden.

Danke auf jeden Fall.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für eine beliebige Menge und einen beliebigen Körper ist mit punktweisen Operationen ein Vektorraum über . In deinem Beispiel ist . Speziell ist für eine natürliche Zahl der Vektorraum der Abbildungen nichts anderes als der -dimensionale Standardvektorraum über dem Körper . Jeder endlichdimensionale Vektorraum ist zu genau einem Standardvektorraum isomorph, also geht es im Grunde genommen immer nur um Abbildungsräume.
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