b-adischen Bruch bestimmen

10.12.2015, 14:18	Rgbmath	Auf diesen Beitrag antworten »
b-adischen Bruch bestimmen Meine Frage: Es wird die Aufgabe gestellt: Bestimmen Sie den b-adischen Bruch von x=4/3 für b=2. Meine Ideen: Also es ist klar, dass es sich um eine Binärdarstellung handeln muss. Das Hauptproblem ist das allgemeine Verständnis, wie vorzugehen ist. Daher sind Ansätze nicht wirklich vorhanden. Ich wär um Hilfe dankbar.
10.12.2015, 14:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: b-adischen Bruch bestimmen Die Umwandlung einer reellen Zahl $\begin{align} 0<x<1 \end{align}$ in einen $\begin{align} b \end{align}$ -adischen Bruch $\begin{align} 0{,}b_1b_2b_3\ldots \end{align}$ geht so: 1) Start mit $\begin{align} x_0:=x \end{align}$ und $\begin{align} n=1 \end{align}$ . 2) Ist $\begin{align} x_n=0 \end{align}$ , so ist der b-adische Bruch endlich und bricht hier ab (d.h. es folgen nur noch Nullziffern). Ist $\begin{align} x_n>0 \end{align}$ , so geht es weiter. 3) Berechne als nächste Ziffer $\begin{align} b_n:=\left\lfloor b\cdot x_{n-1} \right\rfloor \end{align}$ . 4) Setze $\begin{align} x_n = b\cdot x_{n-1}-b_n \end{align}$ . 5) . Falls weitere Ziffern benötigt werden, setze $\begin{align} n:=n+1 \end{align}$ und gehe zu 2), ansonsten Abbruch. Mit $\begin{align} \left\lfloor \ldots \right\rfloor \end{align}$ ist die Gaußklammer gemeint. Im vorliegenden Fall: Es ist $\begin{align} \frac{4}{3} = 1+\frac{1}{3} \end{align}$ , d.h. vor dem Komma steht eine 1, die auch binär als 1 geschrieben wird. Und die binären Nachkommastellen nun gemäß obigem Algorithmus: Start mit $\begin{align} x_0 = \frac{1}{3} \end{align}$ und $\begin{align} n=1 \end{align}$ . $\begin{align} b_1 = \left\lfloor 2\cdot \frac{1}{3} \right\rfloor = 0 \end{align}$ ist erste Nachkommaziffer. $\begin{align} x_1 = \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3} \end{align}$ . $\begin{align} b_2 = \left\lfloor 2\cdot \frac{2}{3} \right\rfloor = 1 \end{align}$ ist zweite Nachkommaziffer. $\begin{align} x_2 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} \end{align}$ . $\begin{align} b_3 = \left\lfloor 2\cdot \frac{1}{3} \right\rfloor = 0 \end{align}$ ist dritte Nachkommaziffer. $\begin{align} x_3 = \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3} \end{align}$ . $\begin{align} b_4 = \left\lfloor 2\cdot \frac{2}{3} \right\rfloor = 1 \end{align}$ ist vierte Nachkommaziffer. $\begin{align} x_4 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} \end{align}$ , usw. Hier kann ich wohl aufhören, denn dass das ganze hier periodisch weiterläuft, ist wohl spätestens hier deutlich zu sehen. Zusammengefasst ergibt sich $\begin{align} \frac{4}{3} = \left[ 1,01010101\ldots \right]_2 = \left[ 1,\overline{01} \right]_2 \end{align}$ .
11.12.2015, 09:52	Rgbmath	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: b-adischen Bruch bestimmen Ich bedanke mich vielmals! Du hast mir sehr weiter geholfen. Jetzt verstehe ich das Vorlesung Skript auch besser.
11.12.2015, 10:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch zum Verständnis des Algorithmus: $\begin{align} x_{n-1} \end{align}$ ist die reelle Zahl, die der b-adischen Darstellung $\begin{align} 0{,}b_nb_{n+1}b_{n+2}\ldots \end{align}$ entspricht. Durch die Multiplikation mit $\begin{align} b \end{align}$ wird das Komma um eine Stelle nach rechts verschoben, d.h., es ist $\begin{align} b\cdot x_{n-1} = \left[b_n{,}b_{n+1}b_{n+2}\ldots\right]_b \end{align}$ . Die Gaußklammer bewirkt, dass alle Nachkommastellen weggeschnitten werden, d.h. $\begin{align} b_n = \left\lfloor b\cdot x_{n-1} \right\rfloor \end{align}$ . Zum korrekten Fortgang des Algorithmus bewirkt die Bildung von $\begin{align} x_n = b\cdot x_{n-1} - b_n \end{align}$ nun, dass $\begin{align} x_n = \left[0{,}b_{n+1}b_{n+2}\ldots\right]_b \end{align}$ ist. Mathematisch korrekt würde man also mit diesen Gedanken die Richtigkeit des obigen Algorithmus per Vollständiger Induktion beweisen.

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