Konvergenz einer rekursiv definierten Reihe

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10.12.2015, 14:48	Wynne	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer rekursiv definierten Reihe Ich habe die rekursiv definierte Folge $\begin{eqnarray} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ gegeben mit $\begin{eqnarray} a_1 = 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2}{3} + \frac{(-1)^n}{2} \end{eqnarray}$ . Meine Aufgabe ist es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray}$ konvergiert. Ich habe bei diesem Beispiel keinen Plan wie ich anfangen soll.
10.12.2015, 15:04	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer rekursiv definierten Reihe Eine wunderschöne Aufgabe -- sehe ich zum ersten Mal. Schreibe fuer $\begin{eqnarray} m > 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^m a_n = a_1 + a_2 + \sum_{n=3}^m \frac{a_n}{a_{n-1}} \cdot \frac { a_{n-1} } {a_{n-2}} \cdot a_{n-2} \end{eqnarray}$ . Nun kann man mit der rekursiven Gleichung einiges vereinfachen und die rechte Summe auf die linke Seite absorbieren. Damit kann man zeigen, dass die Reihe genau dann konvergiert, falls $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ eine Nullfolge ist. Das müsste man noch separat zeigen (vlt geht es aber noch schöner.). Edit: "sehr schön" in "wunderschön" geändert. Edit 2: Alternativ kann man auch argumentieren, warum $\begin{eqnarray} \sum_{n \text{ gerade}} a_n, \sum_{n \text{ ungerade}} a_n \end{eqnarray}$ existieren. Verliert dadurch aber etwas an Reiz.
10.12.2015, 15:41	Wynne	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine schnelle Antwort. Deinen zweiten Edit verstehe ich nicht ganz. Wie genau stellst du $\begin{eqnarray} a_{n-2} \end{eqnarray}$ dar? Als Vielfaches von $\begin{eqnarray} a_{n-1} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} a_{n-3} \end{eqnarray}$
10.12.2015, 15:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee bei der Reihenaufspaltung war es auf beide einzeln das Quotientenkriterium anwenden zu können. Alternativ bemerkt man, dass das nun einfache geometrische Reihen sind und man sogar die Grenzwerte explizit angeben kann.
10.12.2015, 17:57	Wynne	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komm immer noch nicht weiter ich hab umgeformt auf: $\begin{eqnarray} 3+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3} a_{2n} + \frac{1}{2} a_{2n} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3} a_{2n-1} - \frac{1}{2} a_{2n-1} \end{eqnarray}$ nur ich sehe die geometrische Reihe nicht
10.12.2015, 18:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast für die geraden $\begin{eqnarray} \frac { a_{2k} }{a_{2k-2}} = \frac{ a_{2k}} {a_{2k-1}}\cdot \frac {a_{2k-1}} {a_{2k-2}} :=q \end{eqnarray}$ . Mit der Rekursionsformel ist die rechte Seite konstant, und kleiner als 1. Damit ist $\begin{eqnarray} \sum_{k=1} a_{2k} = a_2 \cdot \sum_{k=2}\left( \frac{ a_{2k}} {a_{2k-1}}\cdot \frac {a_{2k-1}} {a_{2k-2}}\right)^{k-2} = a_2 \sum_{k = 2} q^{k-2} \end{eqnarray}$ . Edit: Vlt etwas didaktischer. Definiere $\begin{eqnarray} b_n = a_{2n} \end{eqnarray}$ . Du interessierst dich jetzt fuer die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n = 1}^\infty b_n \end{eqnarray}$ . Wende nun das Quotientenkriterium an um zu zeigen, dass die Reihe konvergiert.
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10.12.2015, 18:28	Wynne	Auf diesen Beitrag antworten »
und analgo gehts für die ungeraden wobei das q gleich ist. Das Beispiel ist wirklich super. Danke dir
10.12.2015, 18:38	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe ist eigentlich nur ein Taschenspielertrick, weil man 2 mal die gleiche geometrische Reihe nimmt (jeweils die geraden und ungeraden Folgenglieder), bloss mit etwas verschiedenen Startwerten. Dann mischt man sie in eine Reihe zusammen. Der unterschiedliche Startwert sorgt nun für Oszillationen, die das direkte Anwenden des Quotientenkriteriums verhindern. Und das obwohl das Quotientenkriterium die Reihe mit der "ähnlichsten" geometrische Reihe vergleicht, die es naiv findet. Alles sehr faszinierend.
10.12.2015, 18:44	Wynne	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal zu deinem Edit: Haben wir nicht schon das Quotientenkriterium angewendet um auf das $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ zu kommen?
10.12.2015, 20:48	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon, aber erst nachdem wir es wieder zurück auf die "Original"reihen der geraden und ungeraden aufgeteilt haben. Für die unaufgeteilte Reihe liefert das Quotientenkriterium keine Aussage.
12.12.2015, 12:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und zum Schluß noch der Reihenwert: $\begin{align} y = 3 + 3 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{7}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{7}{6} + \ldots \end{align}$ $\begin{align} y = 3 + 3 \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{7}{6} \cdot \underbrace{\left( 3 + 3 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{7}{6} + \ldots \right)}_y \end{align}$ $\begin{align} y = \frac{7}{2} + \frac{7}{36} y \end{align}$ $\begin{align} y = \frac{126}{29} \end{align}$
12.12.2015, 12:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leopold Was die Konvergenz der Reihe als Annahme braucht. Nimmt man den Ansatz aus meinem ersten Post mit den Partialsummen ergibt sich die Konvergenz und Grenzwert unmittelbar, sobald man das (a priori) schwächere weiß, dass $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ eine Nullfolge ist.

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