Was ist f(x hoch -1) und lim mit Gaußklammer

11.12.2015, 06:17

mco33415

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Was ist f(x hoch -1) und lim mit Gaußklammer

Meine Frage:
Es ist Funktion f: R -> R mit

f(x) = x - gaußklammer(x) für gaußklammer(x) gerade
= gaußklammer(x) -x+1 für ungerade

1. für welche Werte existiert der lim f(x)

2. existiert der Grenzwert f(x hoch -1)

Meine Ideen:
1. Als erstes habe ich die Funkion skizziert. Und anscheinend herausbekommen, dass es eine unendliche Zickzackfunktion ist, d.h. Bei 0 0 dann Gerade schräg bis zur 1 bei 1 und dann wieder schräg nach unten zur 0 bei 2 , also,eine Art Dach unendlich oft

Also existieren doch alle Grenzwerte?

2. ich weiß nicht was f(x hoch -1) sein soll,

dachte an f(1/x) und habe in der Definition von f anstelle x 1/x dann gesetzt.

Lim ( 1/x - gaußklammer(1/x)) Dann mit Sandwichsatz

Der lim von der gaußklammer ist ja nicht genau bestimmbar, da er irgendwie zwischen 0 und 1 liegt, man hat ja nicht unendlich gerade etc. :-)

Und dann ??.

11.12.2015, 07:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von mco33415
Also existieren doch alle Grenzwerte?

Kommt drauf an, was du unter "alle" verstehst: Die Grenzwerte $\begin{align*} \lim_{x\to x_0} f(x) \end{align*}$ existieren tatsächlich für alle $\begin{align*} x_0\in\mathbb{R} \end{align*}$ , d.h., $\begin{align*} f \end{align*}$ ist stetig.

Die uneigentlichen Grenzwerte $\begin{align*} \lim_{x\to \infty} f(x) \end{align*}$ und $\begin{align*} \lim_{x\to -\infty} f(x) \end{align*}$ existieren hier hingegen nicht.

Zitat:

Original von mco33415
2. ich weiß nicht was f(x hoch -1) sein soll,

Das ist nicht das Problem, sondern dein erneutes Weglassen der Angabe des Grenzübergangs:

Im Fall $\begin{align*} \lim_{x\to 0} f\left( x^{-1} \right) \end{align*}$ lautet die Antwort nämlich anders als bei $\begin{align*} \lim_{x\to 1} f\left( x^{-1} \right) \end{align*}$ . unglücklich

unglücklich

11.12.2015, 19:27

mco33415

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Ich meine x gegen 0 :-)

Und ich weiß, dann nicht, was ich mit gaußklammer ( 1/x) machen soll, wen ich f ( x hoch -1) richtig interpretiert habe.

Da ich nur Grenzen 0<= lim x gegen 0 <= gaußklammer (1/x) < = 1 abschätzen kann.

.???????

11.12.2015, 19:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Die uneigentlichen Grenzwerte $\begin{align*} \lim_{x\to \infty} f(x) \end{align*}$ und $\begin{align*} \lim_{x\to -\infty} f(x) \end{align*}$ existieren hier hingegen nicht.

Was die Nichtexistenz von $\begin{align*} \lim_{x\to 0} f\left(\frac{1}{x}\right) \end{align*}$ impliziert.

11.12.2015, 21:06

mco33415

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Wieso existieren sie formal nicht, logisch ist das klar, da unendlich ja nicht gerade un ungerade ist undman den Wert nicht kennt.

11.12.2015, 22:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von mco33415
Wieso existieren sie formal nicht, logisch ist das klar, da unendlich ja nicht gerade un ungerade ist undman den Wert nicht kennt.

Du redest ziemlich wirr. Fällt dir wirklich keine solidere Begründung ein, warum bei deiner Zickzackkurve die uneigentlichen Grenzwerte $\begin{align*} \lim_{x\to \pm\infty} f(x) \end{align*}$ nicht existieren?

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12.12.2015, 16:55

mco33415

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sie geht unendlich weitet?

Sorry, nein, was denn sonst?

12.12.2015, 17:00

mco33415

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Wirklich formal mit Epilon und Delta? Verstehe dann aber nicht wie?

12.12.2015, 17:18

HAL 9000

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Es geht schlicht um eine saubere Argumentation statt wirrem Gestammel:

Existiert $\begin{align*} \lim_{x\to\infty} f(x)=g \end{align*}$ , so muss für alle Folgen $\begin{align*} (x_k)_{k=1,2,\ldots} \end{align*}$ mit $\begin{align*} \lim_{k\to\infty}x_k = \infty \end{align*}$ ebenfalls $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} f(x_k) = g \end{align*}$ gelten.

Findet man also solche Folgen mit verschiedenen Grenzwerten der Funktionswerte, dann existiert $\begin{align*} \lim_{x\to\infty} f(x) \end{align*}$ nicht. Und die kennen wir ja hier: Für die geraden Zahlen $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} f(2k) = 0 \end{align*}$ und für die ungeraden Zahlen $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} f(2k+1) = 1 \end{align*}$ - fertig.

12.12.2015, 18:22

mco33415

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danke das verstehe ich, die deutsche Sprache ist aber kein Gestammel ;-)

Und jetzt noch kurz Verständnisfrage

Es existiert dann ja auch nicht der lim( f(x) mal f(x hoch -1) ) mit x gegen 0 , da der lim f(x hoch -1) mit x gegen Null nicht existiert und ich das Produkt trennen kann in lim f(x) mal lim f(x hoch -1) mit x gegen 0

oder muss ich das Produkt erst ausmultiplizieren und dann gucken, ob der Limes existiert?

12.12.2015, 19:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von mco33415
Es existiert dann ja auch nicht der lim( f(x) mal f(x hoch -1) ) mit x gegen 0

Das ist jetzt völlig neu, dass du den Grenzwert dieses Produkts ins Spiel bringst - davon war im bisherigen Threadverlauf noch nie die Rede. verwirrt

verwirrt

Und du bist im Irrtum: Der Grenzwert $\begin{align*} \lim_{x\to 0} \left( f(x)\cdot f\left(x^{-1}\right) \right) \end{align*}$ existiert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.12.2015, 20:56

mco33415

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Ok, aber wieso

( x - gaußklammer (x)) mal ( 1/x - gaußklammer (1/x)) =
1 - x gaußklammer (1/x) - 1/x gaußklammer (X) + gaußklammer(x) gaußklammer(1/x)

Und dann ?.?? Kann man die gaußklammern zusammenfassen?
Oder Abschätzung dieser Terme?

Vermute lim ist 1 für x gegen null
Da im zweiten Term x null wird und im dritten und vierten Term Gaußklammer (x) null ist wenn x gegen null geht?

12.12.2015, 21:26

Leopold

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Ein Bild zur Unterstützung:

[attach]40100[/attach]

13.12.2015, 07:23

HAL 9000

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Und algebraisch: $\begin{align*} f \end{align*}$ ist beschränkt - genauer gesagt: Der Wertebereich von $\begin{align*} f \end{align*}$ ist $\begin{align*} [0,1] \end{align*}$ . Außerdem gilt $\begin{align*} f(x)=|x| \end{align*}$ für $\begin{align*} x\in[-1,1]\setminus\{0\} \end{align*}$ , für diese $\begin{align*} x \end{align*}$ gilt also $\begin{align*} 0\leq f(x)\cdot f\left(x^{-1}\right)\leq |x| \end{align*}$ . Damit folgt per Sandwich die Konvergenz des mittleren Terms für $\begin{align*} x\to 0 \end{align*}$ .

13.12.2015, 09:49

mco33415

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Was Ist die rote Kurve?

13.12.2015, 11:20

HAL 9000

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Eigentlich ziemlich offensichtlich: Die rote Kurve ist $\begin{align*} f(x)\cdot f\left( x^{-1} \right) \end{align*}$ .

13.12.2015, 13:14

mco33415

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Ich glaube, dass ich f(x hoch -1) falsch mache, denn
f(1/2) = 1/2-0 = 1/2 da gaußklammer 0 gerade
f (1/2 hoch -1)= f(2) = 2-2+1=1

f(1/2) mal f(1/2 hoch -1) = 1/2 und nicht wie eingezeichnet null????

13.12.2015, 13:18

HAL 9000

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Für $\begin{align*} x=2 \end{align*}$ ist $\begin{align*} \lfloor x\rfloor = 2 \end{align*}$ und damit gerade. Also ist der Funktionszweig

Zitat:

Original von mco33415
f(x) = x - gaußklammer(x) für gaußklammer(x) gerade

maßgeblich, es ist also $\begin{align*} f(2)=0 \end{align*}$ .

Überhaupt ist $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ die blaue Kurve in Leopolds Grafik.

13.12.2015, 15:48

mco33415

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Vielen Dank jetzt verstehe ich diese Aufgabe

Der Grenzwert ist also dann von dem Produkt null :-)

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